Таблица на производни

Шаблон:Без източници Основната операция при математическия анализ е намирането на производна. Тази страница дава производните на някои математически функции в табличен вид. В таблиците f и g са диференцируеми функции, от реални числа и c е реално число. Тези формули са достатъчни за диференцирането на всяка елементарна функция.

Основни правила за диференциране

$\left(cf\right)=c{f}^{\prime }$

$\left(f\pm g\right)=f^{\prime }\pm g^{\prime }$

$\left(fg\right)=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$ (правило Лайбниц)

$\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2},g\ne 0$

$(f^g{)}^{\prime }=\left(e^{g\ln f}\right)=f^g(f^{\prime }\frac{g}{f}+g^{\prime }\ln f),f>0$

$(f(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$ – правило за диференциране на сложни функции

$f^{\prime }=(\ln f{)}^{\prime }f,f>0$

$(f^c{)}^{\prime }=c\left(f^{c-1}\right)f^{\prime }$

Производни на елементарни функции

$(a{x}^n{)}^{\prime }=na{x}^{n-1},n\in \mathbb{N}$

$x^{\prime }=1$

$C^{\prime }=0$

$(e^x{)}^{\prime }=e^x,x\ne 0$

$(a^x{)}^{\prime }=a^{x}ln(a),a>0,x\ne 0$

$(\ln (x){)}^{\prime }=\frac{1}{x},x>0$

$({\log }_a(x){)}^{\prime }=\frac{1}{xln(a)},x>0$

Производни на тригонометрични функции

$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$	$({\sin }^{-1}x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$	$({\cos }^{-1}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\mathrm{tg}x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\mathrm{tg}}^{2}x$	$({\mathrm{tg}}^{-1}x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$
$(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\mathrm{tg}x$	$({\sec }^{-1}x{)}^{\prime }=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$
$(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\mathrm{cotg}x$	$({\csc }^{-1}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$
$(\mathrm{cotg}x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x=\frac{-1}{{\sin }^{2}x}$	$({\mathrm{cotg}}^{-1}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$