65537-ъгълник

Правилен 65537-ъгълник

Шестдесетипетхилядипетстотинтридесетиседмоъгълникът (хексакисмириапентакисхилиапентакоситриаконтихептагон) е многоъгълник с 65 537 страни и ъгли. Сборът на всички вътрешни ъгли е 11 796 300° (65535π). Има 2 147 450 879 диагонала (65537×65534÷2).

Поради малкия централен ъгъл в графично изображение правилният шестдесетипетхилядипетстотинтридесетиседмоъгълник не се отличава от окръжността.

65 537 е най-голямото известно просто число на Ферма, което прави правилния 65537-ъгълник построим с линийка и пергел.

Правилен 65537-ъгълник

При правилен шестдесетипетхилядипетстстотинтридесетиседмоъгълник всички страни и ъгли са равни.

• Вътрешният ъгъл е равен на:

$\frac{(65537-2)}{65537}\cdot 180^{\circ }\approx 179,99450692^{\circ }$

• Външният и централният ъгъл е равен на:

$\frac{360^{\circ }}{65537}\approx 0,0055^{\circ }\approx 0^{\circ }{0}^{\prime }19^{″},77508888$

• Разликата между радиусите R на описаната и r на вписаната окръжност спрямо страната a е:

$R-r=\frac{a}{2\sin (\frac{\pi }{65537})}-\frac{a}{2\tan (\frac{\pi }{65537})}\approx 0,000011984a$

Построение

Тъй като 65537 е просто число на Ферма, по силата на теоремата на Гаус-Ванцел правилен 65537-ъгълник може да бъде построен с линийка и пергел:

За пръв път построен е от Густав Хермес през 1894 г.

Ако се построи 65537-ъгълник със страна 1 cm, то диаметърът му ще бъде над 200 m.