Функция на Дирихле

Шаблон:Без източници Функцията на Дирихле (на името на Петер Густав Льожон Дирихле) е функция над множеството на реалните числа, която приема стойност 1 за всички рационални числа и стойност 0 за всички ирационални числа. Функцията е дефинирана по следния начин:

$D(x)=\{\begin{array}{cc}1,& x\in \mathbb{Q}\\ 0,& x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}\end{array}$,

където Q е множеството на рационалните числа, а R – множеството на реалните числа.

Тя е пример за:

• прекъсната във всяка точка функция,
• функция, която не може да се интегрира по Риман, но може да се интегрира по Лебег,
• функция от втори клас в класификацията на Бер с представяне:

$D(x)=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\cos }^{2n}m!\pi x,$

Риманов интеграл

Функцията на Дирихле не е интегруема по Риман в нито един интервал, понеже при всяко разбиване Z на интервала във всеки подинтервал $[x_{k-1},x_k]$ има винаги както рационални, така и ирационални числа и затова

долната сума $U(Z)=\sum _{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\cdot \underset{x_{k-1}<x<x_k}{inf}f(x)$

е винаги 0 (понеже инфимумът е винаги 0), а

горната сума $O(Z)=\sum _{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\cdot \underset{x_{k-1}<x<x_k}{sup}f(x)$

е винаги равна на дължината на интеграла, в който се интегрира (понеже супремумът е винаги равен на 1 и просто се събират дължините на отделните подинтервали).

За да съществува риманов интеграл, трябва двете стойности да са равни, т.е.:

$\overline{{\int }_a^b}f(x)dx=\underset{Z}{inf}O(Z)=\underset{Z}{sup}U(Z)=\underset{\_}{{\int }_a^b}f(x)dx$

Понеже долната и горната сума трябва да клонят към една и съща стойност, D(x) не е интегруема по Риман в нито един интервал.

Лебегов интеграл

Тъй като функцията на Дирихле е проста функция, т.е. приема само краен брой различни стойности, които освен това са неотрицателни, Лебеговият интеграл може да се пресметне по следния начин за произволен интеграл I:

${\int }_{I}D(x)d\lambda (x)=0\cdot \lambda (I\cap ℝ\setminus \mathbb{Q})+1\cdot \lambda (I\cap \mathbb{Q})$,

където $\lambda (x)$ обозначава лебеговата мярка.

При която и да е стойност на $\lambda (I\cap ℝ\setminus \mathbb{Q})$ умножението с 0 дава винаги резултат 0. Това следва от аксиома от теорията на мярката, дори когато другият множител е безкраен. Освен това $\lambda (I\cap \mathbb{Q})$ е винаги 0, тъй като множеството $\mathbb{Q}$ на рационалните числа е изброимо.

Така че за всеки интервал I е изпълнено:

${\int }_{I}D(x)d\lambda (x)=0$