Формули на Френел

Падаща, отразена и пречупена вълни на границата между две среди. Червеният цвят показва посоките на векторите на интензитета на електричното поле. Случай на р-поляризация

Същото за s-поляризирана светлина (векторите на електричното поле са насочени перпендикулярно на равнината на фигурата)

Частично предаване и отражение на амплитудата на вълна, движеща се в среда от нисък към висок показател на пречупване

Формулите на Френел свързват амплитудите на пречупените и отразените светлинни, а и най-общо електромагнитни вълни, с амплитудата на вълната, падаща върху плоска граница между две среди с различни показатели на пречупване. Изведени са от френския физик Огюстен Френел, който първи установява вълновата природа на светлината. Отражението, описвано с формулите на Френел, се нарича отражение на Френел.

Предварителна информация

При падане на лъч светлина върху плоска граница между две среди се разграничават две поляризации на светлината:

1) S-поляризация – векторът на интензитета на електрическото поле на електромагнитната вълна е перпендикулярен на равнината на падане (т.е. равнината, в която лежат както падащият, така и отразеният лъч);

2) P-поляризация – векторът на интензитета на електрическото поле лежи в равнината на падане.

Формулите на Френел за случаите на s-поляризация и p-поляризация са различни.

Нека $E_i$, $E_r$, $E_t$ са комплексните амплитуди съответно на падащата, отразената и пречупената вълна. Тогава отношението $r=\frac{E_r}{E_i}$ се нарича амплитуден коефициент на отражение, а отношението $t=\frac{E_t}{E_i}$ е амплитуден коефициент на пропускане. С долен индекс $r_s$, $r_p$, $t_s$, $t_p$ обозначаваме съответните амплитудни коефициенти за s- и p-поляризирани вълни.

Формули

Общ случай

$\begin{array}{cc}{r}_{\text{s}}& =\frac{n_1\cos {\theta }_{\text{i}}-n_2\cos {\theta }_{\text{t}}}{n_1\cos {\theta }_{\text{i}}+n_2\cos {\theta }_{\text{t}}},\\ t_{\text{s}}& =\frac{2n_1\cos {\theta }_{\text{i}}}{n_1\cos {\theta }_{\text{i}}+n_2\cos {\theta }_{\text{t}}},\\ r_{\text{p}}& =\frac{n_2\cos {\theta }_{\text{i}}-n_1\cos {\theta }_{\text{t}}}{n_2\cos {\theta }_{\text{i}}+n_1\cos {\theta }_{\text{t}}},\\ t_{\text{p}}& =\frac{2n_1\cos {\theta }_{\text{i}}}{n_2\cos {\theta }_{\text{i}}+n_1\cos {\theta }_{\text{t}}}.\end{array}$

където

$n_1$ е показателят на пречупване на средата, от която пада вълната,

$n_2$ е показателят на пречупване на средата, към която преминава вълната,

${\theta }_i$ – ъгъл на падане,

${\theta }_t$ – ъгъл на пречупване

Ъгълът на падане е свързан с ъгъла на пречупване чрез закона на Снел :

$n_1\sin {\theta }_i=n_2\sin {\theta }_t$

Тъй като светлината с различна поляризация се отразява по различен начин от повърхността, отразената светлина винаги е частично поляризирана, дори ако падащата светлина е неполяризирана. При определен ъгъл на падане, наречен ъгъл на Брюстер, отразеният лъч е напълно поляризиран. Неговата поляризация се оказва линейна, перпендикулярна на равнината на падане (т.е. условието $r_p=0$ ). Ъгълът на Брюстер ${\theta }_B$ зависи от съотношението на показателите на пречупване на средата, образуваща интерфейса, и може да се намери по формулата: $$\mathrm{tg}{\theta }_B=\frac{n_2}{n_1}$$ Коефициентите на отражение и пречупване на енергията могат да се изчислят по формулите:

$R=|r{|}^2$

$T=\frac{n_2\cos {\theta }_t}{n_1\cos {\theta }_i}|t{|}^2$

• Зависимост на коефициентите на пропускане и отражение от ъгъла на падане на светлината
• 
  от по-малко оптически плътна среда (въздух) към по-оптически плътна среда (стъкло)
• 
  от по-оптически плътна среда (стъкло) към по-малко оптически плътна среда (въздух)

Нормално падане

При нормално падане на светлината разликата между p- и s-поляризираните вълни изчезва. Тогава амплитудните коефициенти стават равни:

$r_s=-r_p=\frac{n_1-n_2}{n_2+n_1},$

$t_s=t_p=\frac{2n_1}{n_2+n_1}.$

Разликата в знаците на $r_s$ и $r_p$ се дължи на избора на посоките на векторите на интензитета на електрическото поле: в случай на p-поляризация, при нормално падане, векторите на падащите и отразените вълни се оказват насочени в противоположни посоки, а в случай на s-поляризация те остават еднопосочни.

Коефициенти на отражение и пречупване по енергия:

$R={\left|\frac{n_2-n_1}{n_2+n_1}\right|}^2,$

$T=\frac{4n_1{n}_2}{(n_2+n_1{)}^2}.$

Граници на приложимост

Формулите на Френел са валидни, когато границата между двете среди е гладка, средата е изотропна, ъгълът на отражение е равен на ъгъла на падане и ъгълът на пречупване се определя от закона на Снелиус. В случай на неравна повърхност, особено когато характерните размери на неравностите са от порядъка на дължината на вълната, дифузното отражение на светлината върху повърхността е от голямо значение.