Условна вероятност

Условна вероятност е вероятността за настъпване на събитието А, при условие, че В е настъпило. Означава се с P(A|B) и се чете „Условна вероятност на събитието А по отношение на събитието В“ .

Определение

Математическото определение за условна вероятност се записва по следния начин:

$\mathrm{Pr}(A\mid B)=\frac{\mathrm{Pr}(A\cap B)}{\mathrm{Pr}(B)},\mathrm{Pr}(B)>0.$

Където $\mathrm{Pr}(A\cap B)$ е общата вероятност двете събития да са се сбъднали, а Pr(B) e вероятността да се е сбъднало събитието В без оглед на другите обстоятелства.

Трябва да се отбележи, че в горните определения не се въвеждат никакви времеви или причинно-следствени връзки между събитията А и В. Както А може да предхожда В, така и обратно.

Въвеждането на условности във вероятностите се осъществява с теоремата на Бейс.

Независимост на две събития

Две събития $A,B\in 𝔄$ се наричат независими, тогава и само тогава, когато:

$\mathrm{Pr}(A\cap B)=\mathrm{Pr}(A)\mathrm{Pr}(B).$

От математическото определение на условните вероятности очевидно следва, че:

$\mathrm{Pr}(A|B)=\mathrm{Pr}(A)$

и

$\mathrm{Pr}(B|A)=\mathrm{Pr}(B).$

Следствия

За две независими събития $A,B\in 𝔄$ е в сила:

1. $A^c$ e независимо от $B$.

2. $A$ e независимо от $B^c$.

3. $A^c$ e независимо от $B^c$.

Независимост на $\sigma$-Алгебри

Две $\sigma$-Алгебри ${𝔄}_1,{𝔄}_2\in 𝔄$ се наричат независими, тогава и само тогава, когато:

$\mathrm{\forall }{A}_1\in {𝔄}_1,\mathrm{\forall }{A}_2\in {𝔄}_2$: Събитие $A_1$ е независимо от събитие $A_2$.

Допълнителни формули

1.$\mathrm{Pr}(A)=\mathrm{Pr}(A|B)\mathrm{Pr}(B)+\mathrm{Pr}(A|B^c)\mathrm{Pr}(B^c).$

2.$\mathrm{Pr}(A_1\cap ....\cap A_n)=\mathrm{Pr}(A_1)\mathrm{Pr}(A_2|A_1)...\mathrm{Pr}(A_n|A_1\cap A_2\cap ...\cap A_{n-1}).$

3.$\mathrm{\forall }A,B\in 𝔄,\mathrm{Pr}(A)>0,\mathrm{Pr}(B)>0$:

$\mathrm{Pr}(A|B)=\frac{\mathrm{Pr}(B|A)\mathrm{Pr}(A)}{\mathrm{Pr}(B)}.$ (Формула на Бейс)

Примери

1. Нека разгледаме най-простия пример:този на еднократно хвърления зар. Дадено е вероятностно пространство $(\mathrm{\Omega },𝔄,\mathrm{Pr})$, където $\mathrm{\Omega }=\{1,2,...,6\},𝔄=\{\mathrm{\varnothing },\mathrm{\Omega },\{2,4,6\},\{1,3,5\}\},\mathrm{Pr}\left\{i\right\}=\frac{1}{6}$. Интересува ни каква е вероятността да сме хвърлили двойка при положение, че знаем че хвърления зар е четен.

В случая $A=\left\{2\right\},B=\{2,4,6\}$. Тогава:

$\mathrm{Pr}(A\mid B)=\frac{\mathrm{Pr}(A\cap B)}{\mathrm{Pr}(B)}=\frac{\mathrm{Pr}(\left\{2\right\}\cap \{2,4,6\})}{\mathrm{Pr}(\{2,4,6\})}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}.$

Външни препратки

• Условна вероятност, Формула на Бейс Шаблон:Webarchive, лекции по вероятности на проф. Димитър Въндев