Сигма-алгебра

В математиката и по-специално в теорията на мярката, $\sigma$-алгебра (или сигма-алгебра) върху едно множество $X$ представлява непразна система $\mathrm{\Sigma }$ от подмножества на $X$, която е затворена откъм образуване на комплементи и изброими обединения на своите елементи. Наредената двойка $(X,\mathrm{\Sigma })$ се нарича измеримо пространство.

Дефиниция

Нека $X$ е множество. Множеството $\mathrm{\Sigma }$, елементите, на което са подмножества на $X$, се нарича $\sigma$-алгебра, ако са изпълнени следните три условия:

1. $\mathrm{\varnothing }\in \mathrm{\Sigma }$

2. за всяко множество $E\in \mathrm{\Sigma }\Rightarrow X\setminus E\in \mathrm{\Sigma }$ (затвореност откъм образуване на комплементарни множества)

3. за всяка редица $(E_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ от елементи на $\mathrm{\Sigma }$ множеството $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_n$ е също елемент на $\mathrm{\Sigma }$ (затвореност откъм образуване на изброими обединения).

Непосредствени следствия от дефинцията

От точки 1 и 2 следва, че $X\in \mathrm{\Sigma }$, а от 2, 3 и правилото на де Морган следва: $X\setminus (\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_n)=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(X\setminus E_n)$, т.е. $\mathrm{\Sigma }$ е затворена и откъм образуване на изброими сечения.

Свойства

Ако $𝒜$ e фамилия от $\sigma$-алгебри, то тогава нейното сечение

$\cap 𝒜:=\{E\in 𝔓(X):\mathrm{\forall }\mathrm{\Sigma }\in 𝒜(E\in \mathrm{\Sigma })\}$

е отново $\sigma$-алгебра. Ако $\mathrm{\Sigma }$ e $\sigma$-алгебра върху $X$ и $Y$ е подмножество на $X$, то тогава рестрикцията

${\mathrm{\Sigma }}_Y:=\{E\cap Y:E\in \mathrm{\Sigma }\}$

е $\sigma$-алгебра върху Y.

Породена $\sigma$-алгебра

Нека $𝔈\subseteq 𝔓(X)$ бъде едно произволно множество от подмножества на дадено множество $X\ne \mathrm{\varnothing }$. Тогава чрез $𝔈$ може да се формира специална $\sigma$-алгебра, наречена $\sigma$-алгебра породена от $𝔈$. Бележи се със $\sigma (𝔈)$ и се дефинира по следния начин : Нека $𝒜$ бележи фамилията от $\sigma$-алгебри върху $X$ и нека $𝔸:=\{\mathrm{\Sigma }\in 𝒜:𝔈\subseteq \mathrm{\Sigma }\}$, т.е. $𝔸$ представлява фамилия от всички $\sigma$-алгебри, които съдържат $𝔈$ като подмножество. Тогава сечението на тези сигма-алгебри

$\sigma (𝔈):=\bigcap _{\mathrm{\Sigma }\in 𝔸}^{}\mathrm{\Sigma }$

е $\sigma$-алгебра. Тя е най-малката $\sigma$-алгебра, на която $𝔈$ е подмножество.

Борелова сигма-алгебра

Нека ${𝔒}_n$ обозначава системата от отворените подмножества на ${ℝ}^n,n\in \mathbb{N}$. Тогава

${𝔅}_n:=\sigma ({𝔒}_n)$

се нарича борелова $\sigma$-алгебра върху ${ℝ}^n$. Елементите на ${𝔅}_n$ се наричат борелови множества.

Примери

• Най-малката $\sigma$-алгебра e множеството от подмножвества {$\mathrm{\varnothing },X$} на $X$, а най-голямата е булеанът $𝔓(X)$.
• $\mathrm{\Sigma }=\{\{\},\{1\},\{2\},\{1,2\},\{2,3,4\},\{1,3,4\},\{3,4\},\{1,2,3,4\}\}$ e сигма-алгебра върху $X=\{1,2,3,4\}$.
• В контекста на теорията на вероятностите, системата $𝔄\subseteq 𝔓(\mathrm{\Omega })$ от подмножества на пространството на елементарните събития $\mathrm{\Omega }$ представлява $\sigma$-алгебра, която се нарича още алгебра на събитията. Елементите на $𝔄$ се наричат събития и в случай, че е дадена вероятностна мярка P върху $𝔄$, наредената тройка $(\mathrm{\Omega },𝔄,P)$ се нарича вероятностно пространство.

Примери за генериране на сигма-алгебра

• За $X:=\{0,1,2,3\}$ и $𝔈=\{\{2\},\{0,1,2\}\}$ следва

$\sigma (𝔈)=\{\mathrm{\varnothing },\{2\},\{3\},\{0,1\},\{2,3\},\{0,1,2\},\{0,1,3\},\{0,1,2,3\}\}$.

Външни препратки

• Чернова Н.: Теория вероятностей, 1 курс ЭФ, отделение экономики, § 1.

Литература

• Сазонов В.: Алебра множеств в Математическая энциклопедия, том 1Шаблон:Dead link (с допълнителна литература)

• Floret, K.: Maß- und Integrationstheorie, Teubner
• Srivastava S.: A Course on Borel Sets, Springer, Berlin, 1998, ISBN 0-387-98412-7
• Elstrodt J.: Maß- und Integrationstheorie, Springer, 2009, ISBN 3-540-89727-5
• Окстоби Дж.: Мера и категорияШаблон:Dead link, Мир, 1974
• Артамонов В.А. и др.: Общая алгебра, том 2Шаблон:Dead link, Москва, 1991