Тридесетоъгълник

Тридесетоъгълникът (също и триаконтагон) е многоъгълник с 30 страни и ъгли. Сборът на всички вътрешни ъгли е 5040° (28π). Има 405 диагонала.

Правилен тридесетоъгълник

При правилния тридесетоъгълник всички страни и ъгли са равни. Вътрешният ъгъл е 168°, а външният и централният – 12°.

Лице

Лицето S на правилен тридесетоъгълник може да бъде намерено по три начина:

• По страната a:

$S=15a^2\cdot \cot (6^{\circ })\approx 71,3577334a^2$

• По радиуса R на описаната окръжност:

$S=15R^2\cdot \sin (12^{\circ })\approx 3,118675R^2$

• По радиуса r на вписаната окръжност (т.е. апотемата):

$S=30r^2\cdot \tan (6^{\circ })\approx 3,153127r^2$

Построение

Тъй като 30 = 2×3×5, а 3 и 5 са две различни прости числа на Ферма, правилен тридесетоъгълник може да бъде построен с линийка и пергел по подобие на петнадесетоъгълник.

Формули

$S=\frac{15}{2}{a}^2\left(\sqrt{23+10\sqrt{5}+2\sqrt{3(85+38\sqrt{5})}}\right)=\frac{15}{4}{a}^2(\sqrt{15}+3\sqrt{3}+\sqrt{2}\sqrt{25+11\sqrt{5}})$

$r=\frac{1}{2}a\cot \frac{\pi }{30}=\frac{1}{4}a(\sqrt{15}+3\sqrt{3}+\sqrt{2}\sqrt{25+11\sqrt{5}})$

$R=\frac{1}{2}a\csc \frac{\pi }{30}=\frac{1}{2}a(2+\sqrt{5}+\sqrt{15+6\sqrt{5}})$