Точно диференциално уравнение

Шаблон:Без източници Точно диференциално уравнение или диференциално уравнение с пълен диференциал в математиката е определен вид обикновено диференциално уравнение.

Точни диференциални уравнения от първи ред

Тест за точно диференциално уравнение

Нека функциите $M$, $N$, $M_y$, и $N_x$, където долните индекси означават частната производна, са непрекъснати в множеството $R:\alpha <x<\beta ,\gamma <y<\delta$ . В такъв случай диференциалното уравнение

$$M(x,y)+N(x,y)\frac{dy}{dx}=0$$

е точно тогава и само тогава, когато

$$M_y(x,y)=N_x(x,y)$$

Тоест съществува функция $\psi (x,y)$, наречена потенциална функция, така че

$${\psi }_x(x,y)=M(x,y)\text{ и }{\psi }_y(x,y)=N(x,y)$$

В общия случай:

$$M_y(x,y)=N_x(x,y)⟺\{\begin{array}{c}\mathrm{\exists }\psi (x,y)\\ {\psi }_x(x,y)=M(x,y)\\ {\psi }_y(x,y)=N(x,y)\end{array}$$

Доказателство

Доказателството се състои от две части.

Нека $\psi (x,y)$ е функция, така че ${\psi }_x(x,y)=M(x,y)\text{ и }{\psi }_y(x,y)=N(x,y)$.

Тогава $M_y(x,y)={\psi }_{xy}(x,y)\text{ и }{N}_x(x,y)={\psi }_{yx}(x,y)$.

От условието, че $M_y$ и $N_x$ са непрекъснати, следва, че ${\psi }_{xy}$ и ${\psi }_{yx}$ също са непрекъснати, което гарантира тяхната еднаквост.

Втората част от доказателството се състои в конструирането на функцията $\psi (x,y)$ и може да се използва и като процедура за решаване на точни диференциални уравнения от първи ред. Нека за $M_y$и $N_x$ е изпълнено, че $M_y(x,y)=N_x(x,y)$, и нека $\psi (x,y)$ е функция, за която е изпълнено, че ${\psi }_x(x,y)=M(x,y)\text{ и }{\psi }_y(x,y)=N(x,y)$.

Започваме като интегрираме първото уравнение спрямо $x$ . Практически няма значение дали се интегрира първото или второто уравнение, стига интегрирането да се извършва спрямо правилната променлива. $$\frac{\partial \psi }{\partial x}(x,y)=M(x,y)$$$$\psi (x,y)=\int M(x,y)dx+h(y)$$$$\psi (x,y)=Q(x,y)+h(y)$$където $Q(x,y)$ е произволна диференцируема функция, за която$Q_x=M$ . Функцията $h(y)$ играе ролята на константа на интегриране, но вместо просто константа, тя е функция от $y$, тъй като $M(x,y)$ е функция и от $x$, и от $y$, а ние интегрираме само спрямо $x$ .

Сега, да покажем, че винаги е възможно да се намери функция $h(y)$ такава, че ${\psi }_y=N$ .$$\psi (x,y)=Q(x,y)+h(y)$$Диференцираме двете страни на уравнението спрямо $y$ .$$\frac{\partial \psi }{\partial y}(x,y)=\frac{\partial Q}{\partial y}(x,y)+h^{\prime }(y)$$Заместваме $\frac{\partial \psi }{\partial y}(x,y)$ с $N$ и изразяваме $h^{\prime }(y)$ .$$h^{\prime }(y)=N(x,y)-\frac{\partial Q}{\partial y}(x,y)$$За да се определи $h^{\prime }(y)$ от това уравнение, дясната страна трябва да зависи само от $y$ . Това може да се докаже, като се покаже, че производната ѝ спрямо $x$ винаги е нула. Затова диференцираме дясната страна спрямо $x$:$$\frac{\partial N}{\partial x}(x,y)-\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial Q}{\partial y}(x,y)⟺\frac{\partial N}{\partial x}(x,y)-\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)$$Понеже $Q_x=M$, следва, че$$\frac{\partial N}{\partial x}(x,y)-\frac{\partial M}{\partial y}(x,y)=0$$,

въз основа на първоначалното предположение, че $M_y(x,y)=N_x(x,y)$.

Следователно,$$h^{\prime }(y)=N(x,y)-\frac{\partial Q}{\partial y}(x,y)$$$$h(y)=\int (N(x,y)-\frac{\partial Q}{\partial y}(x,y))dy$$$$\psi (x,y)=Q(x,y)+\int (N(x,y)-\frac{\partial Q}{\partial y}(x,y))dy+C$$

Решаване на точни диференциални уравнения от първи ред

Точни диференциални уравнения от първи ред с формата$$M(x,y)+N(x,y)\frac{dy}{dx}=0$$могат да се запишат изцяло въз основа на потенциалната функция $\psi (x,y)$$$\frac{\partial \psi }{\partial x}+\frac{\partial \psi }{\partial y}\frac{dy}{dx}=0$$където$$\{\begin{array}{c}{\psi }_x(x,y)=M(x,y)\\ {\psi }_y(x,y)=N(x,y)\end{array}$$Това е еквивалентно на пълния диференциал на $\psi (x,y)$ .$$\frac{\partial \psi }{\partial x}+\frac{\partial \psi }{\partial y}\frac{dy}{dx}=0⟺\frac{d}{dx}\psi (x,y(x))=0$$Тогава решенията на точното диференциално уравнение се дават от$$\psi (x,y(x))=c$$и проблемът се свежда до намирането $\psi (x,y)$ .

Това може да се постигне чрез интегрирането на двата израза $M(x,y)dx$ и $N(x,y)dy$ и съставянето на полином, в който всеки член от получените изрази се среща само веднъж. Този полином ще бъде $\psi (x,y)$.

Причината за това е следната. Понеже$$\{\begin{array}{c}{\psi }_x(x,y)=M(x,y)\\ {\psi }_y(x,y)=N(x,y)\end{array}$$чрез интегриране на двете страни следва, че$$\{\begin{array}{c}\psi (x,y)=\int M(x,y)dx+h(y)=Q(x,y)+h(y)\\ \psi (x,y)=\int N(x,y)dy+g(x)=P(x,y)+g(x)\end{array}$$От което следва, че$$Q(x,y)+h(y)=P(x,y)+g(x)$$където $Q(x,y)$ и $P(x,y)$ са диференцируеми функции, така че $Q_x=M$ и $P_y=N$ .

За да е винаги изпълнено това, и за да може от двете страни да се получи абсолютно един и същи израз, а именно $\psi (x,y)$, $h(y)$ задължително трябва да се съдържа в израза за $P(x,y)$, защото не може да бъде в $g(x)$, тъй като първото е изцяло функция на $y$ и следователно не може да има нищо общо с $x$ . Аналогично $g(x)$ трябва да се съдържа в израза $Q(x,y)$ .

Следователно,$$Q(x,y)=g(x)+f(x,y)\text{ и }P(x,y)=h(y)+d(x,y)$$за някакви изрази $f(x,y)$ и $d(x,y)$ . Замествайки в предишното уравнение, изведено от системата, следва, че$$g(x)+f(x,y)+h(y)=h(y)+d(x,y)+g(x)\Rightarrow f(x,y)=d(x,y)$$и така $f(x,y)$ и $d(x,y)$ се оказват една и съща функция. От това следва, че$$Q(x,y)=g(x)+f(x,y)\text{ и }P(x,y)=h(y)+f(x,y)$$Тъй като вече показахме, че$$\{\begin{array}{c}\psi (x,y)=Q(x,y)+h(y)\\ \psi (x,y)=P(x,y)+g(x)\end{array}$$следва, че$$\psi (x,y)=g(x)+f(x,y)+h(y)$$ В крайна сметка $\psi (x,y)$ може да се построи чрез извършване на операциите$\int M(x,y)dx$ и $\int N(x,y)dy$ и съставянето на многочлен от едночлените, които са общи за двата израза (а именно $f(x,y)$), и добавянето към тях на едночлените, които се срещат само в един от двата интеграла, т.е. $g(x)$ и $h(y)$.