Теореми на Грийн

Шаблон:Без източници В математиката и по-специално във векторния анализ формулите на Грийн (наричани още теореми, закони, изрази или идентичности на Грийн) представляват по-специално приложение на теоремата на Гаус-Остроградски (теорема за дивергенцията). Те са именувани на математика Джордж Грийн. Намират приложение в електростатиката при изчисление на електрически потенциали.

В по-долните разглеждания пространствената тримерна (n-мерна) област $V\subset {ℝ}^n$ е компактно множество с частично гладка гранична повърхност и $\varphi$ и $\psi$ са две функции дефинирани в $V$, при което $\varphi$ и $\psi$ са двойно-непрекъснати и диференцируеми. $\mathrm{\nabla }$ е оператор набла.

Първи израз на Грийн

$\underset{V}{\int }(\varphi {\mathrm{\nabla }}^2\psi +\mathrm{\nabla }\varphi \mathrm{\nabla }\psi )dV={\oint }_A\varphi \frac{\partial \psi }{\partial n}dA$,

при което $A$ е повърхността заграждаща обема $V$, $\frac{\partial \psi }{\partial n}=\mathrm{\nabla }\psi \cdot \overrightarrow{n}$, a $\overrightarrow{n}$ е нормалата излизаща от елемента площ $dA$.

При $\varphi =\psi$ израза придобива следния вид:

$\underset{V}{\int }(\varphi {\mathrm{\nabla }}^2\varphi +(\mathrm{\nabla }\varphi {)}^2)dV={\oint }_A\varphi \frac{\partial \varphi }{\partial n}dA$,

Втори израз на Грийн

$\underset{V}{\int }(\psi {\mathrm{\nabla }}^2\varphi -\varphi {\mathrm{\nabla }}^2\psi )dV={\oint }_A(\psi \frac{\partial \varphi }{\partial n}-\varphi \frac{\partial \psi }{\partial n})dA$

Вижте също

Функция на Грийн