Теорема на Гаус-Остроградски

Шаблон:Без източници Теоремата на Гаус-Остроградски е резултат от векторния анализ, който представя зависимостта между дивергенцията на едно векторно поле и потока на полето през затворена повърхност.

Теоремата следва от един специален случай на теоремата на Стокс, която от своя страна обобщава основния израз в интегралното и диференциално смятане.

Формулировка

Дадено е: $V\subset {ℝ}^n$ компактно множество с частично гладка граница $A$. Векторното поле $\overrightarrow{F}$ е непрекъснато върху границата на V и непрекъснато и диференцируемо вътре в областта $V$, а $\overrightarrow{n}$ е нормала излизаща от елемента площ $dA$. Тогава е в сила:

$\underset{V}{\int }\mathrm{div}\overrightarrow{F}\mathrm{d}V={\oint }_A\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{n}\mathrm{d}A.$

Приложение

Теоремата е от особена важност във физиката, особено в електромагнетизма (например, при решаването на задачи, свързани с някои от уравненията на Максуел, виж Теорема на Гаус) и хидродинамиката (чийто математически апарат също включва векторния анализ).

История

Първи използва теоремата Жозеф Луи Лагранж през 1762 г. По-късно, независимо от Лагранж и един от друг, теоремата откриват и Карл Фридрих Гаус (1813) и Джордж Грийн (1825). Първото доказателство на теоремата е дадено от Михаил Остроградски през 1831 г.

Вижте също

• Теореми на Грийн
• Функция на Грийн