Теорема на Стюарт

Шаблон:Без източници В математиката теоремата на Стюарт (Шаблон:Lang) гласи:

Теоремата се доказва с помощта на косинусовата теорема.

Точка D лежи върху страната BC.

За точка D, произволна точка лежаща на отсечката BC (AD – медиана):

Нека $\mathrm{\angle }BDA=\varphi$

От косинусова теорема в триъгълниците BDA и CDA получаваме

$A{B}^2=A{D}^2+B{D}^2-2.BD.AD.cos\varphi$

$C{A}^2=A{D}^2+C{D}^2-2.CD.AD.cos(180-\varphi )$

От тук и дефиницията за косинус следва $cos(180-\varphi )=-cos\varphi$

$A{B}^2=A{D}^2+B{D}^2-2.BD.AD.cos\varphi$

$C{A}^2=A{D}^2+C{D}^2+2.CD.AD.cos\varphi$

Умножаваме двете страни на първото и второто съответно с CD и BD и събираме почленно.

$A{B}^2.CD=A{D}^2.CD+B{D}^2.CD-2.CD.BD.AD.cos\varphi$

$C{A}^2.BD=A{D}^2.BD+C{D}^2.BD+2.CD.BD.AD.cos\varphi$

$A{B}^2.CD+C{A}^2.BD=A{D}^2.BD+C{D}^2.BD+A{D}^2.CD+B{D}^2.CD,$

Окончателно:

$A{B}^2.CD+C{A}^2.BD=A{D}^2.BD+A{D}^2.CD+CD.BD(CD+BD)$