Съществуване и гладкост на Навие-Стокс

Визуализация на потока на турбулентна струя, направена чрез лазерно индуцирана флуоресценция. Струята показва широк диапазон от скали на дължината, важна характеристика на турбулентните потоци.

Проблемът за съществуването и гладкостта на уравненията на Навие-Стокс се отнася до математическите свойства на решенията на уравненията на Навие-Стокс, система от диференциални уравнения с частни производни, които описват движението на флуид в пространството. Решенията на уравненията на Навие-Стокс се използват в много практически приложения. Теоретичното разбиране на решенията на тези уравнения обаче е непълно. По-специално, решенията на уравненията на Навие-Стокс често включват турбулентност, която остава един от най-големите нерешени проблеми във физиката, въпреки огромното ѝ значение в науката и инженерството.

Дори по-основни (и на пръв поглед интуитивни) свойства на решенията на Навие-Стокс все още не са доказани. За триизмерната форма на уравненията и при дадени начални условия, математиците нито са доказали, че винаги съществуват гладки решения, нито са открили контрапримери. Това се нарича проблем за съществуването и гладкостта на Навие-Стокс .

Тъй като разбирането на уравненията на Навие-Стокс се счита за първата стъпка към разбирането на неуловимото явление турбулентност, през май 2000 г. Математическият институт „Клей“ постави тази задача, като една от седемте „Задачи на хилядолетието“ по математика. Предложена е награда от 1 000 000 щатски долара на първия, който предложи решение на конкретна постановка на задачата: Шаблон:Цитат

Частични резултати

През 1934 г. Жан Льоре доказва, че съществуват гладки и глобално дефинирани решения на уравненията на Навие-Стокс, при условие че началната скорост ${𝐯}_0(x)$ е достатъчно малка. Той също така доказа съществуването на така наречените слаби решения на уравненията на Навие-Стокс, които може да не удовлетворяват уравненията точково, но ги удовлетворяват в средна стойност.

През 60-те години на миналия век е доказано, че методът на крайните разлики е сходим за уравненията на Навие-Стокс и уравненията са решени числено. Доказано е също, че съществуват гладки и глобално дефинирани решения на уравненията на Навие-Стокс в 2 измерения.

Известно е, че при дадена начална скорост ${𝐯}_0(x)$ съществува крайно „време на раздуване“ T, зависещо от ${𝐯}_0(x)$, така че уравненията на Навие-Стокс върху ${ℝ}^3\times (0,T)$ имат гладки решения $𝐯(x,t)$ и $p(x,t)$ Тези решения обаче може да не са валидни за стойности на $t$ отвъд времето за раздуване.

През 2016 г. Терънс Тао публикува статия, озаглавена „Раздуване с крайно време за осреднено триизмерно уравнение на Навие-Стокс“, в която формализира идеята за „свръхкритична бариера“ за проблема с глобалната регулярност за истинските уравнения на Навие-Стокс и твърди, че неговият метод на доказателство подсказва за възможен път към установяване на раздуване за истинските уравнения.

В популярната култура

Нерешените задачи са използвани в художествената литература, за да се посочи рядък математически талант. Проблемата на Навие-Стоукс е част от „Шива на математика“ (2014), книга за престижна, починала, измислена математичка на име Ракела Карнокович, която отнася доказателството в гроба си в знак на протест срещу академичните среди. Филмът „Надарена “ (2017)[1] препраща към "Задачите на хилядолетието" и разглежда потенциала на 7-годишно момиче и нейната починала майка математичка да решат проблема на Навие-Стоукс.