Скобки на Поасон

Скобките на Поасон са важен оператор в хамилтоновата механика, играещ централна роля в описанието на времевата еволюция на динамичните системи във формулировката на Хамилтон. В по-общ план скобките на Поасон се използват при дефинирането на алгебра на Поасон, а многообразието на Поасон е неин частен случай. Те са наречени на френския математик Симеон Дени Поасон.

Обобщени координати

В обобщените координати $(q_i,p_j)$ на фазовото пространство, скобките на Поасон на две функции $f(p_i,q_i,t)$ и $g(p_i,q_i,t)$ се записват:

$\{f,g\}=\sum _{i=1}^N[\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}].$

Уравнения на движението

Пълният диференциал на дадена функция във фазовото пространство може още да бъде записан със скобките на Поасон. Нека $f(p,q,t)$ е функция, дефинирана върху дадено многообразие. Пълният ѝ диференциал има вида:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(p,q,t)=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}.$

Ако заместим в горното уравнение обобщените координати $p=p(t)$ и $q=q(t)$ с техните изрази в уравненията на Хамилтон-Якоби ($\dot{q}=\partial H/\partial p$ и $\dot{p}=-\partial H/\partial q$), получаваме:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(p,q,t)=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p}-\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial H}{\partial q}=\frac{\partial f}{\partial t}+\{f,H\}.$

Следователно изменението с времето на дадена функция f, дефинирана на симплектично многообразие, може да бъде описано от поток. В запис, независим от избора на координатна система, изразът на пълния диференциал на функцията придобива вида:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f=(\frac{\partial }{\partial t}-\{H,\cdot \})f.$

Операторът $-\{H,\cdot \}$ се нарича още Оператор на Лиувил.

Константи на движението

Дадена интегрируема система може да притежава константи на движението, различни от енергията. Такива константи на движението трябва да комутират с хамилтониана в смисъла на скобките на Поасон. Нека $f(p,q)$ е константа на движението. Следователно наредената двойка $p(t),q(t)$ е траектория или двойка решения на уравненията на Хамилтон-Якоби, а нейният пълен диференциал е равен на нула: $0=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}$. Като заместим с уравненията на Хамилтон-Якоби, получаваме:

$0=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(p,q)=\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p}-\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial H}{\partial q}=\{f,H\}$

Това уравнение е познато като уравнение на Лиувил. Теоремата на Лиувил гласи, че времевата еволюция на дадена динамична система се определя от уравнението на Лиувил.

Общи свойства

• Скобките на Поасон притежават свойството антисиметричност (Понякога наричано и „кососиметричност“ ): $$\{A,B\}=-\{B,A\}$$
• Скобките на Поасон удовлетворяват тъждеството на Якоби:

$\{A,\{B,C\}\}+\{B,\{C,A\}\}+\{C,\{A,B\}\}=0$

• Обобщените координати са свързани с уравнението:$$\{q^j,p_k\}={\delta }_k^j$$

Уравнения на Хамилтон-Якоби

Нека $H(q^i,p_i)$ е хамилтониана на разглежданата система. Уравненията на Хамилтон-Якоби могат да бъдат записани със скобките на Поасон:

$${\dot{q}}^j=\{q^j,H\}=\frac{\partial H}{\partial p_j}$$

и:

$${\dot{p}}_j=\{p_j,H\}=-\frac{\partial H}{\partial q^j}$$

Квантов еквивалент

В квантовата механика комутаторът на две наблюдаеми X и Y е пропорционален на техните скобки на Поасон:

$$\{X,Y\}\to \frac{1}{i\hslash }[\hat{X},\hat{Y}]$$

където с $[.,.]$ е обозначен комутаторът. По този начин получаваме комутационните съотношение на наблюдаемите във формализма на Хайзенберг. Същата стратегия може да бъде приложена при квантуването на електричното поле например.

Източници

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. – М.: Физматгиз, 1958. („Теоретическая физика“, том I).

Вижте също

• Оператор на Хамилтон