Оператор на Лагранж

Шаблон:Без източници Най-често операторът на Лагранж се дефинира като разликата между кинетичната и потенциалната енергия на една система:

L = T – V

В едномерното пространство операторът на Лагранж за механична система е:

$\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}m{\dot{\overrightarrow{x}}}^2-V(\overrightarrow{x}).$

Уравнението на Ойлер-Лагранж е:

$m\ddot{\overrightarrow{x}}+\mathrm{\nabla }V(\overrightarrow{x})=0$

където точката обозначава производна спрямо времето, а набла (или дел) е оператор:

$\mathrm{\nabla }=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\end{array}\right)$

Механиката на Лагранж представлява различен начин на представяне на Нютоновата механика.

$\overrightarrow{F}=-\mathrm{\nabla }V(x)$

Това уравнение е равнозначно на Втория закон на Нютон:

$\overrightarrow{F}=m\ddot{\overrightarrow{x}}$

или в по-общата формула:

$\overrightarrow{F}=\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}$

За тримерно пространство:

$\frac{m}{2}({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2+r^2{\sin }^2\theta {\dot{\phi }}^2)-V(r).$

, r, θ, φ – сферични координати

Уравненията на Ойлер-Лагранж са:

$m\ddot{r}-mr({\dot{\theta }}^2+{\sin }^2\theta {\dot{\phi }}^2)+V^{\prime }=0,$

$\frac{d}{dt}(m{r}^2\dot{\theta })-m{r}^2\sin \theta \cos \theta {\dot{\phi }}^2=0,$

$\frac{d}{dt}(m{r}^2{\sin }^2\theta \dot{\phi })=0.$