Неравенство на Карамата

Шаблон:Без източници Неравенството на Карамата, наречено на сръбския математик Йован Карамата, още известно като мажорационно неравенство, е теорема от елементарната алгебра.

Ако е дадена функция $f:ℐ\to ℝ$, изпъкнала в интервала $ℐ$, тогава за всеки две мажориращи се редици $\{x_1,x_2,\dots ,x_n\}\succ \{y_1,y_2,\dots ,y_n\}$ е изпълнено:

$$f(x_1)+\cdots +f(x_n)\ge f(y_1)+\cdots +f(y_n).$$ Доказателство:

Първо нека положим $c_i=\frac{f(y_i)-f(x_i)}{y_i-x_i}$, което поради изпъкналостта на функцищта $f(x)$ и мажорирането на редиците $𝐱$ и $𝐲$, образува ненамаляваща редица. Тоест $$c_i\ge c_{i+1}\iff \frac{f(y_i)-f(x_i)}{y_i-x_i}\ge \frac{f(y_{i+1})-f(x_{i+1})}{y_{i+1}-x_{i+1}}.$$

Това следва последователно от $\frac{b-c}{a-c}f(a)+\frac{a-b}{a-c}f(c)\ge f(b)=f(\frac{b-c}{a-c}a+\frac{a-b}{a-c}c)\iff \frac{f(a)-f(c)}{a-c}\ge \frac{f(b)-f(c)}{b-c}$ за $a\ge b$, което е дефиницията за изпъкналост. Тогава от факта, че $x_1\ge x_2\ge \dots \ge x_n$ и $y_1\ge y_2\ge \dots \ge y_n$, се получава

$$\frac{f(y_i)-f(x_i)}{y_i-x_i}\ge \frac{f(y_i)-f(x_{i+1})}{y_i-x_{i+1}}\ge \frac{f(y_{i+1})-f(x_{i+1})}{y_{i+1}-x_{i+1}}.$$

Полагаме $A_k=x_1+\dots +x_k$ и $B_k=y_1+\dots +y_k$ за $k=1,2,\dots ,n$ и заради мажорирането $A_k\ge B_k$ за $k=1,2,\dots ,n-1$ и $A_n=B_n$.

В такъв случай $\sum _{i=1}^n(f(x_i)-f(y_i))=\sum _{i=1}^n{c}_i(x_i-y_i)=$ $\sum _{i=1}^n(c_i-c_{i+1})(x_1+x_2+...+x_i)-\sum _{i=1}^n(c_i-c_{i+1})(y_1+y_2+...+y_i)=$ $=\sum _{i=1}^{n-1}(c_i-c_{i+1})(A_i-B_i)+c_n(A_n-B_n)$, което очевидно е по-голямо от 0.

Пример

Ако вместо $(y_1,y_2,\dots ,y_n)$ използваме редицата $(\frac{x_1+\cdots +x_n}{n},\cdots ,\frac{x_1+\cdots +x_n}{n})$, ще получим неравенството на Йенсен.

Вижте също

• Мажоризация