Мултипликативна функция

Шаблон:Без източници Шаблон:Обработка Мултипликативна функция в теорията на числата е аритметична функция $f(n)$, дефинирана върху множеството на естествените числа, която има свойството, че $f(1)=1$ и ако $a$ и $b$ са взаимно прости, то

$$f(ab)=f(a)f(b).$$

Аритметичната функция $f(n)$ се нарича напълно (изцяло) мултипликативна ако f(1) = 1 и f(ab) = f(a) f(b) за всички естествени числа a и b, дори и когато не са взаимно прости.

Извън теорията на числата, понятието мултипликативен обикновено се използва за функции за които f(ab) = f(a) f(b) за всички параметри a и b; тогава или f(1) = 1, или f(a) = 0 за всички a освен a = 1. Тази статия се отнася за теоретико-числовите мултипликативни функции.

Свойства на аритеметичните мултипликативни функции

Лема. Мултипликативните функции се определят еднозначно от техните стойности за простите числа.

Лема. $f(n)$ е мултипликативна тогава и само тогава, когато и

$g(n)=\sum _{a|n}f(a)$

е мултипликативна функция.

Лема. Ако $f_1(n)$ и $f_2(n)$ са мултипликативни, то и тяхната конволюция

$(f_1*f_2)(n)=\sum _{a|n}{f}_1(a)f_2\left(\frac{n}{a}\right)$

е също мултипликативна.