Модел на Томас-Ферми

Моделът на Томас-Ферми е квантово-механично описание на структурата на сложни атоми, използващо функционали на електронната плътност, за разлика от класическата вълнова (матрична) квантова механика. Наречен е по името на своите създатели – британския физик Люелин Томас (Llewellyn Hilleth Thomas) и италианския физик Енрико Ферми, които го разработват независимо един от друг през 1927 г. Това е първият модел от множеството статистически теории за функционала на плътността, разработени впоследствие. Тази съвкупност от статистически модели, наречени с общото име теория за функционала на плътността (англ. Density Functional Theory, DFT) e изключително удобна за практически изчисления на структурата на многочастични квантови системи, за които точното решаване на уравнението на Шрьодингер е практически непосилна задача дори за съвременните компютри, ако броят на частиците в системата е повече от няколкостотин.

Броят електрони в обем ΔV от импулсното пространство се задава с:

$\mathrm{\Delta }N=n(\overrightarrow{r})\mathrm{\Delta }V$

където $n(\overrightarrow{r})$ е електронната плътност.

Чрез интегриране до нивото на Ферми се получават следните функционали за кинетичната и потенциалната енергии на електроните, изразени чрез електронната плътност (която е функция на координатите):

$T=C_F\int [n(\overrightarrow{r}){]}^{5/3}{d}^{3}r$

$U_{eN}=\int n(\overrightarrow{r})V_N(\overrightarrow{r})d^{3}r$

където $V_N(\overrightarrow{r})$ е потенциалната енергия на електрона в точка $\overrightarrow{r}$. За атом с Z на брой протони тя е:

$V_N(\overrightarrow{r})=\frac{-Z{e}^2}{r}$

където е е елементарният заряд на електрона, а интеграционната константа се получава от условието за нормализация:

$C_F=\frac{3h^2}{10m_e}{\left(\frac{3}{8\pi }\right)}^{\frac{2}{3}}.$

Потенциалната енергия на електроните, дължаща се на взаимодействието помежду им, e:

$U_{ee}=\frac{1}{2}{e}^2\int \frac{n(\overrightarrow{r})n(\overrightarrow{r}{}^{\prime })}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r}{}^{\prime }|}{d}^{3}r{d}^3{r}^{\prime }.$

Пълната енергия на електроните е сума от техните кинетична и потенциална енергии:

$\begin{array}{cc}E& =T+U_{eN}+U_{ee}\\ & =C_F\int [n(\overrightarrow{r}){]}^{5/3}{d}^{3}r+\int n(\overrightarrow{r})V_N(\overrightarrow{r})d^{3}r+\frac{1}{2}{e}^2\int \frac{n(\overrightarrow{r})n(\overrightarrow{r}{}^{\prime })}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r}{}^{\prime }|}{d}^{3}r{d}^3{r}^{\prime }\\ \end{array}$

Въпреки че е важна стъпка към разработването на бъдещата теория за функционала на плътността, моделът на Томас-Ферми е неточен за практически изчисления поради приближенията в израза за кинетичната енергия и неотчитане на обменното взаимодействие между електроните, дължащо се на принципа на Паули. През 1928 г. Пол Дирак добавя израз за обменната енергия към уравненията.