Антисиметрична матрица

Антисиметрична матрица наричаме квадратна матрица $A(a_{ij})$, за която е изпълнено $a_{ij}=-a_{ji}$ за всеки $i,j.$

Например $\left(\begin{array}{ccc}0& 5& 1\\ -5& 0& 7\\ -1& -7& 0\end{array}\right)$.

Свойства

1. Рангът на всяка антисиметрична матрица е четен.
2. $A^T=-A$ (следва от $a_{ij}=-a_{ji}$)
3. Всички числа по главния диагонал са нули. ($a_{ii}=-a_{ii}\Rightarrow a_{ii}=0$)Шаблон:Hrf
4. Нека A е n-мерна антисиметрична матрица. Ако n е нечетно, то $det(A)=0$, а ако n е четно, $det(A)\ge 0$Шаблон:Hrf
5. За реални антисиметрични матрици ненулевите собствени стойности на матрицата са чисто имагинерни и следователно имат вида ${\lambda }_{1}i,-{\lambda }_{1}i,{\lambda }_{2}i,-{\lambda }_{2}i,\dots$ където всички ${\lambda }_k$ са реални числа.
6. Всяка квадратна матрица A може да бъде представена като сума от симетрична и антисиметрична матрица както следва: $A=\frac{1}{2}(A+A^{𝖳})+\frac{1}{2}(A-A^{𝖳}).$Шаблон:Hrf

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book