Масов инерционен момент

В класическата механика, инерционният момент, наричан също масов инерционен момент или инерчен момент, (SI единици kg·m²·rad^-2,) е мярка за „съпротивата“, която едно тяло оказва на промяна в състоянието си на въртеливо движение. С други думи, това е инерцията на въртящото се тяло по отношение на въртенето му. Аналогично с дефиницията на обикновената инерция, обект, който се върти, се стреми да продължи да се върти с постоянна скорост и ще продължи да се върти, докато не му подейства външен въртящ момент. Инерционния момент играе роля във въртеливото движение, подобна на ролята на масата в линейната динамика, описвайки отношението между момент на импулса и ъглова скорост, въртящ момент и ъглово ускорение и др. Най-често се обозначава с I и понякога с J.

Инерционният момент обикновено се приема за скалар в по-простите явления. За анализ на по-сложни системи инерционният момент се третира като тензор.

Преглед

Въртяща се състезателка по фигурно пързаляне прибира ръцете си към тялото, намалявайки инерционния си момент и съответно увеличавайки скоростта си на въртене.

Тъй като инерционният момент около дадена ос показва колко трудно се изменя движението около тази ос, той включва не само масата на обекта, но и отдалечеността му от тази ос. Колкото по-далече е един обект от оста на въртене, толкова по-голям е неговият инерционен момент.

Скаларната форма на инерционния момент зависи от избрана ос на въртене, докато по-общата с тензорна форма не зависи.

Маховик – бързо въртящо се колело с голям инерционен момент и съответно голям момент на импулса. Използва се за стабилизация.

Скаларен инерционен момент

Нека твърдо тяло се върти с ъглова скорост ω около дадена ос. Тялото се състои от of N точкови маси m_i, чието отстояние от оста на въртене отбелязваме с r_i. Всяка точкова маса ще има линейна скорост Шаблон:Nowrap, така че пълната кинетична енергия E на тялото е:

$E=\sum _{i=1}^N\frac{1}{2}{m}_i{v}_i^2=\sum _{i=1}^N\frac{1}{2}{m}_i(\omega r_i{)}^2=\frac{1}{2}{\omega }^2(\sum _{i=1}^N{m}_i{r}_i^2).$

В този израз стойността в скобите наричаме „инерционен момент на тялото спрямо дадената ос“. Бележим го с главно латинско I:

$I=\sum _{i=1}^N{m}_i{r}_i^2.$

Забележка: r_i в случая е разстоянието до избраната ос на въртене, а не до началната точка в координатната система. Затова инерционния момент е различен спрямо различните оси на въртене.

Инерционният момент на плътно твърдо тяло около зададена ос може да бъде намерен чрез заместване на сумата с интеграл:

$I=\underset{V}{\int }\rho (𝐫)d(𝐫{)}^2\mathrm{d}V(𝐫),$

където r е радиус вектор на точка от тялото, ρ(r) е масовата плътност в точка r, и d(r) е разстоянието от точката r до оста на въртене. V е обемът на тялото.

Теореми

Теорема	Означения	Формула
Принцип на суперпозицията за инерционен момент за всяка избрана ос	Inet = Резултантния инерционен момент (около всяка избрана ос)	$I_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{t}}=\sum _j{I}_j$
Теорема на Щайнер за успоредните оси	M = маса на тялото d = перпендикулярното разстоянние между две оси през центъра на масата ICM = инерчен момент спрямо оста през центъра на масата Id = инерчен момент спрямо успоредната ос	$I_d=I_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}}+M{d}^2$
Теорема за перпендикулярните оси	i, j, k се отнасят за всяка една от възможни взаимно перпендикулярни оси	$I_k\le I_i+I_j$

Свойства

Суперпозиция

Инерционният момент е адитивна величина. Това значи, че ако тяло бъде разделено на няколко части, то инерционният момент на цялото тяло около дадена ос е равен на сумата от инерционните моменти на частите му около същата ос.

Вижте също

• момент на импулса
• въртящ момент
• въртеливо движение

Външни препратки

• elearning-phys.uni-sofia.bg Шаблон:Webarchive
• phys.tu-sofia.bg Шаблон:Webarchive