Крива на Вивиани

Кривата на Вивиани в пространството и с трите ѝ проекции върху координатните равнини

Кривата на Вивиани е пространствена алгебрична крива, която се получава при пресичането на цилиндър със сфера. Кривата е наречена на ученика на Галилей, Винченцо Вивиани, който я е изучавал през 1692 г., макар че преди това кривата е разглеждана и от Жил де Робервал (1666) и от Антоан де Лалубер (1660).

Уравнения

Нека сферата е зададена с уравнението в декартови координати $x^2+y^2+z^2=4a^2$, където радиусът ѝ е $2a$, а центърът ѝ съвпада с координатното начало (0,0,0). Нека цилиндърът е зададен с уравнението $(x-a{)}^2+y^2=a^2$ с радиус $a$ и центърът му е в точката (a,0,0).

Тогава, при решаване на x и y като функции на z, получаваме:

$x=2a-\frac{z^2}{2a},y=\pm \frac{z}{2}\sqrt{4-\frac{z^2}{a^2}}$.

Кривата още се дефинира и с параметричните си уравнения:

$x=a(1+\cos t),y=a\sin t,z=2a\sin \left(\frac{1}{2}t\right)$

за t ∈ (-2π, 2π).

Тези формули обуславят и трите проекции на кривата върху координатните равнини:

• Върху равнината XY проекцията е окръжност;
• Върху равнината XZ проекцията е сегмент от парабола;
• Върху равнината YZ проекцията е самопресичаща се крива от рода на лемнискатата на Бернули.

Външни препратки

• Страница за кривата на Вивиани на сайта на Система Mathematica
• Интерактивна визуализация на JavaView на кривата на Вивиани (от електронния учебник по диференциална геометрия на проф. Г. Станилов, ФМИ-СУ) Шаблон:Webarchive
• Проекции на кривата на Вивиани Шаблон:Webarchive