Закон на Био-Савар

Шаблон:Без източници Шаблон:Класическа електродинамика Законът на Био-Савар (по-рядко наричан още Закон на Био-Савар-Лаплас) дава връзката между тока $𝐈$ и магнитното поле $𝐁$, което той създава. Кръстен е на двамата френски математици Жан-Батист Био (Jean-Baptiste Biot) и Феликс Савар (Félix Savart). В сила е само за статични магнити полета и обикновено се прилага в по-прости случаи, вместо закона на Ампер.

Математично представяне

$\overrightarrow{B}(\overrightarrow{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int I\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{l}\times \frac{\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }}{|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }{|}^3}$

където:

$𝐁$ е магнитното поле, което създава проводникът,

${\mu }_0$ е магнитната константа,

$I$ е токът,

$\mathrm{d}l$ е безкрайно малко парче от проводника, а векторът $\mathrm{d}𝐥$ сочи в посока на тока,

$𝐫$ е радиус-векторът на точката, в която се създава магнитното поле,

${𝐫}^{\prime }$ е радиус-векторът на безкрайно малкото парче проводник.

Ако се използва връзката между тока $I$ и плътността му $𝐣$:

$I\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{l}=\overrightarrow{v}\cdot \mathrm{d}q=\overrightarrow{v}\cdot \rho \cdot \mathrm{d}V=\overrightarrow{j}\cdot \mathrm{d}V,$

законът може да се представи и като интеграл по обема:

$\overrightarrow{B}(\overrightarrow{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{V}{\int }\overrightarrow{j}({\overrightarrow{r}}^{\prime })\times \frac{\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }}{|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }{|}^3}\mathrm{d}{V}^{\prime }.$

В повечето случаи е удобно да се работи само с едни радиус-вектор. В такъв случай, можете да заместите ${𝐫}^{\prime }=0$ без да нарушите валидността на закона. Също така можете да изразите $𝐫$ чрез единичния вектор $\widehat{𝐫}$:

$\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}=\frac{\overrightarrow{\hat{r}}}{r^2}.$

Всичките тези формулировки са математически еквивалентни, просто в различните ситуации някои ще Ви се сторят по-подходящи от други.

Приложение

Магнитно поле на движещ се точков заряд

Магнитното поле, което създава точков заряд, движещ се с постоянна и нералитивистка скорост, се смята по следната формула:

$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\cdot \frac{q\cdot \overrightarrow{v}\times \overrightarrow{\hat{r}}}{r^2}.$

В случая просто е използвана връзката между тока и скоростта на заряда, показана по-горе.

Безкрайно дълъг прав проводник

В триизмерното пространство за векторното произведение важи следното:

$\mathrm{d}\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{r}=\mathrm{d}l\cdot r\sin \varphi =\mathrm{d}l\cdot r\cos \theta .$

Също така:

$\frac{a}{r}=\cos \theta \Rightarrow r=\frac{a}{\cos \theta };$

$\frac{l}{a}=\tan \theta \Rightarrow \mathrm{d}l=a\cdot \frac{\mathrm{d}\theta }{{\cos }^2\theta }.$

При заместване в израза за магнитното поле се получава:

$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}I\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{l}\times \frac{\overrightarrow{r}}{|\stackrel{3}{\overrightarrow{r}}|}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{+\frac{\pi }{2}}{\int }}I\cdot \frac{\mathrm{d}l\cdot r\cos \theta }{r^3}=$

$=\frac{{\mu }_0\cdot I}{4\pi }\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{+\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{a\cos \theta \mathrm{d}\theta }{r^2{\cos }^2\theta }=\frac{{\mu }_0\cdot I}{4\pi }\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{+\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{a{\cos }^3\theta \mathrm{d}\theta }{a^2{\cos }^2\theta }=\frac{{\mu }_0\cdot I}{4\pi \cdot a}\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{+\frac{\pi }{2}}{\int }}\cos \theta \mathrm{d}\theta .$

Магнитното поле на безкрайно дълъг проводник е:

$B=\frac{{\mu }_0\cdot I}{2\pi \cdot a}$

Посока на полето се определя по правилото на дясната ръка.

Прав проводник с крайна дължина

Този случай е аналогичен на предишния, само че се интергрира от ${\theta }_1$ до ${\theta }_2$:

$B=\frac{{\mu }_0\cdot I}{4\pi \cdot a}\cdot (\sin {\theta }_2-\sin {\theta }_1)$

Кръгла проводяща рамка

Магнитното поле по оста на симетрия $z$ e:

$B_z=\int |\mathrm{d}\overrightarrow{B}|\cdot \cos \alpha =\frac{{\mu }_0}{4\pi }\oint \frac{I\mathrm{d}l}{r^3}\cdot \underset{R}{\underbrace{r\sin \alpha }}=\frac{{\mu }_0\cdot I\cdot 2\pi \cdot R\cdot R}{4\pi \cdot r^3}=\frac{{\mu }_0\cdot I\cdot R^2}{2(x^2+R^2{)}^{\frac{3}{2}}}.$