Векторна проекция

Векторната проекция на вектор на ос $𝐚$ върху ненулев вектор $𝐛$ (позната още като компонента на вектора $𝐚$), често обозначавана с ${\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}_{𝐛}𝐚$, представлява трети вектор, който се получава при ортогонално проектиране на $𝐚$ върху права, колинеарна на $𝐛$. Изпълнено е равенството

${\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}_{𝐛}𝐚=\frac{𝐚\cdot 𝐛}{{\Vert 𝐛\Vert }^2}𝐛$

където $𝐚\cdot 𝐛$ представлява скаларното произведение на векторите $𝐚$ и $𝐛$, а с $\Vert 𝐛\Vert$ е отбелязана дължината на вектора $𝐛$. За произволно реално число $\lambda$ е в сила равенството ${\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}_{𝐛}\lambda 𝐚=\lambda {\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}_{𝐛}𝐚$.

Самата дължина на векторната проекция се пресмята по формулата

$\Vert {\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}_{𝐛}𝐚\Vert =\Vert 𝐚\Vert |\cos \sphericalangle (𝐚,𝐛)|$

Посоката на векторната проекция се определя от това дали ъгълът между $𝐚$ и $𝐛$ е остър или тъп. Ако е остър, то скаларното произведение на двата вектора ще е положително число, а оттам – и ${\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}_{𝐛}𝐚\uparrow \uparrow 𝐛$. С аналогични разсъждения можем да заключим, че ако двата вектора сключват тъп ъгъл помежду си, то ${\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}_{𝐛}𝐚\uparrow \downarrow 𝐛$.