Дискриминанта

Шаблон:Без източници Дискриминанта на полином (многочлен) на една променлива е число, което е равно на нула, тогава и само тогава, когато полиномът има повтарящ се корен. Точната дефиниция на дискриминантата на полинома

$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$

e

$D(f)=a_n^{2n-2}\prod _{1\le i<j\le n}{(x_i-x_j)}^2$

където x₁, x₂, …, x_n са всички n корена на полинома, броени с кратностите им.

Свойства

• Дискриминантата е симетричен полином и може да бъде изразена чрез елементарните симетрични полиноми. Последните съгласно формулите на Виет могат да бъдат заменени с коефициентите на изходния полином. Така дискриминантата е полином от коефициентите на многочлена.

• Дискриминантата на полинома f е равна на детерминантата на следната (2n − 1)×(2n − 1) матрица

$\left(\begin{array}{cccccccccc}& a_n& a_{n-1}& a_{n-2}& \dots & a_0& 0& \dots & \dots & 0\\ & 0& a_n& a_{n-1}& a_{n-2}& \dots & a_0& 0& \dots & 0\\ & ⋮& & & & & & & & ⋮\\ & 0& 0& \dots & 0& a_n& a_{n-1}& a_{n-2}& \dots & a_0\\ & n{a}_n& (n-1)a_{n-1}& (n-2)a_{n-2}& \dots & a_1& 0& \dots & \dots & 0\\ & 0& n{a}_n& (n-1)a_{n-1}& (n-2)a_{n-2}& \dots & a_1& 0& \dots & 0\\ & ⋮& & & & & & & & ⋮\\ & 0& 0& \dots & 0& n{a}_n& (n-1)a_{n-1}& (n-2)a_{n-2}& \dots & a_1\end{array}\right)$

Някои автори приемат горния израз за дефиниция на дискриминантата.

• Дискриминантата на f(x) е равна на резултантата на f(x) и f'(x), където f' е производната на f.

Примери

• Дискриминантата на полином от втора степен P(x) = ax²+bx+c, е

$D={(x_1-x_2)}^2=x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2=x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-4x_1{x}_2={(x_1+x_2)}^2-4x_1{x}_2=b^2-4ac$

Последният израз чрез замяна на коефициентите дава числото b²-4ac.

• Дискриминантата на полином от трета степен P(x) = ax³+bx²+cx+d, e

$D=c^2{b}^2-4d{b}^3-4c^{3}a+18dcba-27d^2{a}^2$