Електродинамика

Електродинамиката е дял от теоретичната физика, който изучава електромагнитното поле, зависещо от времето, и неговото взаимодействие с тела, имащи електричен заряд.

Предметът на електродинамиката включва връзката между електрически и магнитни явления, електромагнитно излъчване (в различни условия, както свободно, така и в различни случаи на взаимодействие с материята), електрически ток (най-общо казано, променлив) и неговото взаимодействие с електромагнитно поле (електрическият ток може да се разглежда при това като набор от движещи се заредени частици). Всяко електрическо и магнитно взаимодействие между заредени тела се разглежда в съвременната физика като осъществяващо се с помощта на електромагнитно поле и следователно също е предмет на електродинамиката.

В зависимост от условията, в които се намират разглежданите тела, се разделя на класическа електродинамика и квантова електродинамика.

Основни величини

Формулировка

Въздействие на ел. поле на заряди спрямо:	заряд Q	затворен контур C	затворена повърхнина S	затворен контур C	затворена повърхнина S
Величина	$Q$	$𝐄$ , $𝐃=\epsilon 𝐄$	${\mathrm{\Phi }}_{𝐞}$	$𝐇$ , $𝐁=\mu 𝐇$	${\mathrm{\Phi }}_{𝐦}$
Първа производна $\frac{d}{dt}$	$i=\frac{dQ}{dt}$	$\frac{dE}{dt}$ , $\frac{dD}{dt}$	$\frac{d{\mathrm{\Phi }}_{𝐞}}{dt}$	$\frac{dH}{dt}$, $\frac{dB}{dt}$	$\frac{d{\mathrm{\Phi }}_{𝐦}}{dt}$
Втора производна $\frac{d^2}{d{t}^2}$	$\frac{di}{dt}$	$\frac{d^{2}E}{d{t}^2}$, $\frac{d^{2}D}{d{t}^2}$	$\frac{d^2{\mathrm{\Phi }}_e}{d{t}^2}$	$\frac{d^{2}H}{d{t}^2}$, $\frac{d^{2}B}{d{t}^2}$	$\frac{d^2{\mathrm{\Phi }}_m}{d{t}^2}$

Означения и измерителни единици

Символ	Значение	Измерителна единица в СИ
$𝐄$	Интензитет (напрегнатост) на електричното поле	$V/m$ волт на метър
$𝐇$	Интензитет (напрегнатост) на магнитното поле	$A/m$ ампер на метър
$𝐃$	Електрична индукция (плътност на електрическия поток)	$C/m^2$ кулон на квадратен метър
$𝐁$	Магнитна индукция (плътност на магнитния поток)	$T$, $Wb/m^2$или $\frac{N}{A.m}$ тèсла, вебер на квадратен метър или Нютон/(Ампер.метър)
$\rho$	Плътност на свободните електрични заряди (не се включват свързаните диполни двойки)	$C/m^3$ кулон на кубически метър
${𝐉}_{𝐞}$, ${𝐢}_{𝐞}$	Плътност на електрическия ток (не включва поляризационните токове и токовете на намагнитване в средата)	$A/m^2$ ампер на квадратен метър
${𝐉}_{𝐦}$, ${𝐢}_{𝐦}$	Плътност на магнитния ток (не включва поляризационните токове и токовете на намагнитване в средата)	$A/m^2$ ампер на квадратен метър
$d𝐒$	Диференциален вектор, равен по дължина на площта на пренебрежимо малка област $\mathrm{\Delta }S$ → $0$, с посока по нормалата към повърхността на тази област	$m^2$ квадратен метър
$dV$	Диференциален елемент от обема V заграден от повърхност S	$m^3$ кубически метър
$d𝐥$	Диференциален вектор на елемента от пътя, с посока по тангентата към затворен контур C, заграждащ площ S	$m$ метър
$\mathrm{\nabla }\cdot$	Дивергенция	$1/m$ единица на метър
$\mathrm{\nabla }\times$	Ротация или завихряне	$1/m$ единица на метър
$\mathrm{\nabla }\cdot$	Градиент	$1/m$ единица на метър

Основни зависимости

Основните зависимости в електродинамиката се определят от четирите уравнения на Максуел:

№	Наименование	Диференциална форма	Интегрална форма
1	Закон на Ампер– (в разширения от Максуел вариант):	$\mathrm{\nabla }\times 𝐇={𝐉}_{𝐧𝐩}+\frac{\partial 𝐃}{\partial t}$	${\oint }_L𝐇\cdot d𝐥=\underset{S}{\int }{𝐉}_{𝐧𝐩}\cdot d𝐒+\frac{d}{dt}\underset{S}{\int }𝐃\cdot d𝐒$
2	Закон на Фарадей за промяна на магнитната индукция	$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$	${\oint }_L𝐄\cdot d𝐥=-\frac{d}{dt}\underset{S}{\int }𝐁\cdot d𝐒$
3	Закон на Гаус за потока на електричната индукция	$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐃=\rho$	${\oint }_S𝐃\cdot d𝐒=\underset{V}{\int }\rho \cdot dV$
4	Закон на Гаус за потока на магнитната индукция	$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$	${\oint }_S𝐁\cdot d𝐒=0$

1. Закон на Ампер-Максуел (закон на Ампер за пълния ток). Циркулацията на вектора на напрегнатостта на магнитното поле по затворен контур е равна на пълния ток, преминаващ през произволна повърхнина, ограничена от контура:

${\oint }_L𝐇\cdot d𝐥=I_{np}+I_c$

Максуел полага, че величината $i_c=\frac{I_c}{S}=\epsilon \frac{dE}{dt}$ има смисъла на плътност на ток $I_c$, протичащ през останалата част от затворената повърхност извън областта L, който нарича ток на сместване. С него се обяснява пренасянето на електрична енергия през непроводящи среди чрез изменение на електричното поле във времето. Пълният ток $I$ е сума от тока на проводимост $I_{np}$ и тока на сместване $I_c$: $I=I_{np}+I_c$. Плътността на тока на проводимост е ${𝐉}_{𝐧𝐩}=i_{np}=\frac{I_{np}}{S}=\sigma E$

Законът на Ампер-Максуел в интегрална форма може да се запише и чрез магнитната индукция $𝐁$:

${\oint }_L𝐁\cdot d𝐥=\mu .(I_{np}+I_c)$

Тъй като законът важи за всяка повърхност, ако тя е безкрайно малка, като се разделят двете страни на горните равенства на $S$ и се намери граничният преход на лявата част при $\mathrm{\Delta }S$ → $0$, получава се първото уравнение на Максуел в диференциална форма:

$\mathrm{\nabla }\times 𝐇={𝐉}_{𝐧𝐩}+\frac{\partial 𝐃}{\partial t}$

или:

$\mathrm{rot}𝐇=\sigma 𝐄+\epsilon \frac{\partial 𝐄}{\partial t}$

2. Закон на Фарадей за промяна на магнитната индукция. Електродвижещото напрежение по затворен контур е равно на скоростта на изменение на магнитния поток (промяната на магнитната индукция) през заградената от този контур площ със знак минус:

$e={\oint }_S𝐄\cdot d𝐒=-\frac{d{\mathrm{\Phi }}_{𝐦}}{dt}$ ,

където ${\mathrm{\Phi }}_{𝐦}=\underset{S}{\int }𝐁\cdot d𝐒$ e магнитният поток през областта с площ $S$.

Тъй като законът важи за всяка повърхност, ако тя е безкрайно малка, като се разделят двете страни на горното равенство на $S$ и се намери граничният преход на лявата част при $\mathrm{\Delta }S$ → $0$, получава се второто уравнение на Максуел в диференциална форма:

$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{dB}{dt}$ или

$\mathrm{rot}𝐄=-\mu \frac{\partial 𝐇}{\partial t}$.

3. Закон на Гаус за потока на електричната индукция. Потокът на електричната индукция през затворена повърхност е равен на обемната плътност на свободните заряди в обема, заграден от повърхността:

${\mathrm{\Phi }}_{𝐞}={\oint }_S𝐃\cdot d𝐒=\rho$ или

${\mathrm{\Phi }}_{𝐞}={\oint }_S𝐄\cdot d𝐒=\frac{\rho }{\epsilon }$.

При безкрайно малка повърхност $\mathrm{\Delta }S$ → $0$ аналогично се получава третото уравнение на Максуел в диференциален вид:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐃=\rho$ и $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=\frac{\rho }{\epsilon }$ или

$\mathrm{div}𝐃=\rho$ и $\mathrm{div}𝐄=\frac{\rho }{\epsilon }$.

Ако средата е идеален диелектрик, няма свободни заряди, обемната им плътност $\rho =0$ и записите на теоремата на Гаус добиват вида:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐃=0$ и $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=0$ или

$\mathrm{div}𝐃=0$ и $\mathrm{div}𝐄=0$.

Това означава, че силовите линии на електрическото поле в идеален диелектрик са непрекъснати.

4. Закон на Гаус за потока на магнитната индукция. Потокът на магнитната индукция през затворена повърхност е равен на нула.

${\mathrm{\Phi }}_{𝐦}={\oint }_S𝐁\cdot d𝐒=0$

При безкрайно малка повърхност $\mathrm{\Delta }S$ → $0$ аналогично се получава четвъртото уравнение на Максуел в диференциален вид:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$ и $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐇=0$, или

$\mathrm{div}𝐁=0$ и $\mathrm{div}𝐇=0$.

Следователно, силовите линии на магнитното поле винаги са непрекъснати.