Механика на Лагранж

Шаблон:Без източници Шаблон:Класическа механика Механика на Лагранж е преформулировка на класическата механика, въведена от Жозеф Луи Лагранж през 1788 г.

Уравнение на Лагранж

Уравненията, описващи движението в механиката на Лагранж, са известни още като уравнения на Лагранж-Ойлер.

Дадена е частица с маса m и позиция, описвана с векторна координата r. Силата, действаща върху тази частица, може да се определи като градиент на скаларния потенциал на енергийната функция V(r, t):

$𝐅=-\mathrm{\nabla }V.$

Тъй като силата е независима от третата или по-висока степен производна на r, вторият закон на Нютон се свежда до 3 диференциални уравнения от втори род. Следователно движението е функция на 6 независими променливи или степени на свобода. Очевиден е набора от координати в декартова координатна система { rj, r′j | j = 1, 2, 3} и техните производни: в точка {x,y,z} скоростите:

{$v_x,v_y,v_z$}

Най-общо можем да се вземат обобщени координати $q_j$ и техните времеви производни $\dot{q_j}$. Позицията на вектора r се описва чрез следното трансформационно равенство:

$𝐫=𝐫(q_i,q_j,q_k,t)$

За пример се взема махало с дължина l, избира се за координата ъгълът на отклонение спрямо вертикалата θ и се получава следното трансформационно уравнение:

$𝐫(\theta ,{\theta }^{\prime },t)=(l\sin \theta ,l\cos \theta )$.

Разглеждаме произволно движение на махалото. Работата, извършена от приложената силаF е δW = F · δr.

Ползвайки закона на Нютон получаваме:

$\begin{array}{ccc}𝐅\cdot \delta 𝐫& =& m{𝐫}^{″}\cdot \delta 𝐫.\end{array}$

След като работата е скаларна величина, може да се пренапише равенството чрез използване на общите координати и техните призводни – скоростите.

От лявата страна има:

$\begin{array}{ccc}𝐅\cdot \delta 𝐫& =& -\mathrm{\nabla }V\cdot \sum _i\frac{\partial 𝐫}{\partial q_i}\delta q_i\\ \\ & =& -\sum _{i,j}\frac{\partial V}{\partial r_j}\frac{\partial r_j}{\partial q_i}\delta q_i\\ \\ & =& -\sum _i\frac{\partial V}{\partial q_i}\delta q_i.\end{array}$

От дясната страна е по-трудно, но след преобразуване се получава:

$m{𝐫}^{″}\cdot \delta 𝐫=\sum _i[\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial q{\text{'}}_i}-\frac{\partial T}{\partial q_i}]\delta q_i$

където T = 1/2 m r′ ² е кинетичната енергия на частицата. Уравнението за извършената работа е:

$\sum _i[\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial q{\text{'}}_i}-\frac{\partial (T-V)}{\partial q_i}]\delta q_i=0.$

Това уравнение би трябвало да е вярно за коя да е координатна ос: δq_i, следователно се получава:

$[\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial q{\text{'}}_i}-\frac{\partial (T-V)}{\partial q_i}]=0$

за всяка координата δq_i. Може още да се опрости това уравнение, забелязвайки, че V е функция само на r и t, и r е функция само на координатите и на t. Следователно V е независимо от скоростите.

$\frac{d}{dt}\frac{\partial V}{\partial q{\text{'}}_i}=0.$

Замествайки това в предишното уравнение и заменяйки L = T – V, се получава уравнението на Лагранж:

$\frac{\partial L}{\partial q_i}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial q{\text{'}}_i}$.

L = T – V – оператор на Лагранж

Има по едно уравнение на Лагранж за всяка от координатните оси qi.

Когато qi = ri – тоест при декартови координати уравнението на Лагранж се свежда до втория закон на Нютон.

Същото уравнение може да бъде изведено и за система с N частици. Ще се получат 6N общи координати, свързани с 3N трансформационни уравнения. Във всяко едно от тези 3N на брой уравнения на Лагранж T е общата кинетична енергия, V е потенциалната енергия.

В практиката често е по-лесно да се реши уравнението на Лагранж, отколкото уравненията на Нютон. Това е така, защото може така да се подберат координатите на системата, че да има симетрия и да се намали броят на решаваните уравнения.

Принцип на Хамилтон

Действието или работата S се дефинират като времеви интеграл върху оператора на Лагранж:

$S=\int Ldt$.

Нека q0 и q1 да са координатите на началната и на крайната точка съответно с време t0 и t1.

Ползвайки изчислителни методите от висшата математика се показва че Уравнението на Лагранж е равносилно на Принципа на Хамилтон:

Системата преминава от състояние q0 в q1 за времето между t0 и t1, като в точките q0 и q1 няма действие – тоест системата застава в покой.

Под стационарно положение или покой се разбира, че скоростта или първата производна на координатите в точки q0 в q1 е нулева.

$\delta S=0.$

Може да се абстрахираме от наличието на приложената сила и да се разгледа това движение като от преместване моментно от една стационарна точка в друга и обратно.

Принципът на Хамилтон се нарича още принцип на най-малкото възможно действие.

Доразвитие на механиката на Лагранж

Операторът на Хамилтон се дефинира като трансформация на Лежандр върху оператора на Лагранж. Хамилтоновият оператор е основа за друга разновидност на класическата механика, известна като механика на Хамилтон. Тази механика е особено ценна при квантовата механика.

През 1948 г. Файнман изобретява интеграл по крива, доразвиващ принципа за действие в посоката на най-малкото съпротивление.

При тази формулировка частиците пътуват едновременно по всички възможни траектории между началната и крайната точка и вероятността за намиране на една частица в крайната точка се получава като резултат от сумиране на всички възможни траектории, водещи дотам.

В класическия си вариант той се свежда до принципите на Хамилтоновата механика.

Външни препратки

• Практически примерШаблон:Dead link