Биномен коефициент

Биномен коефициент на естествените числа k и n е броят на всички възможни k-елементни подмножества на дадено n-елементно множество. Биномният коефициент е естествено число и се дефинира като:

за 0 ≤ k ≤ n

(\binom{n}{k}) = \frac{n \cdot (n - 1) \dots (n - k + 1)}{k \cdot (k - 1) \dots 1} = \frac{n!}{k! (n - k)!}

и за k > n, k < 0

(\binom{n}{k}) = 0 .

Символът $(\binom{n}{k})$ се чете „n над k“.

Също така за 1 ≤ k ≤ n важи следното:

(\binom{n}{k - 1}) + (\binom{n}{k}) = (\binom{n + 1}{k}),

където с m! е означен факториелът на m.

Биномните коефициенти получават името си от развитието на бинома

(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{n - k} y^{k} .

Формули, свързани с биномните коефициенти

Тези формули се използват често в задачи от комбинаториката и теорията на вероятностите.

(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k}) .

Това следва директно от дефиницията. Други формули са

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n},

\sum_{k = 1}^{n} k (\binom{n}{k}) = n 2^{n - 1} .

Следва формулата на Вандермонд

\sum_{j} (\binom{m}{j}) (\binom{n - m}{k - j}) = (\binom{n}{k})

Сродни са формулите

\sum_{m} (\binom{m}{j}) (\binom{n - m}{k - j}) = (\binom{n + 1}{k + 1}),

\sum_{j = 0}^{m} {(\binom{m}{j})}^{2} = (\binom{2 m}{m}) .

Като означим числата на Фибоначи с F(n + 1), получаваме формула за диагоналите на триъгълника на Паскал

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n - k}{k}) = F (n + 1) .

Това може да се докаже с индукция.

Триъгълник на Паскал

Триъгълникът на Паскал съдържа биномните коефициенти. Носи името на Блез Паскал, който го открива през XVII век. Намерен е и в китайски писмени източници от XI век.

Всеки елемент – в n-ти ред на k-та позиция – в триъгълника притежава аритметично и комбинаторно тълкуване и в зависимост от това се означава с $(\binom{n}{k})$ – чете се (биномен коефициент) n над k, или $C_{k}^{n}$ – комбинация (без повторение) на k от n елемента.

Всяко число от вътрешността на триъгълника е сума от двете числа, непосредствено разположени над него. Математически това свойство се записва по следния начин:

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k})

и се нарича правило на Паскал.

Тази формула лесно се обобщава за пирамида в тримерното пространство, както и за други n-мерни обобщения на триъгълника.

Коефициенти до десети ред

На долната фигура са показани елементите на триъгълника до n = 10:

Триъгълник на Паскал

Обобщение за отрицателни числа

Дефиницията на биномните коефициенти може да бъде разширена за отрицателни числа по следния начин:

$(\binom{- n}{r}) = (- 1)^{r} (\binom{n + r - 1}{r})$

за r ≥ 0, n ≥ 0,

$(\binom{- n}{- r}) = {\begin{matrix} 0 if r < n, \\ (\binom{- n}{r - n}) if r \geq n, \end{matrix} n > 0, r > 0$

и

$(\binom{n}{r}) = 0$

ако n ≥ 0, r < 0 или r > n.

Обобщение за реален и комплексен аргумент

Биномният коефициент $(\binom{z}{k})$ може да бъде дефиниран за всяко комплексно число z и за всяко естествено число k по следния начин:

(\binom{z}{k}) = \prod_{n = 1}^{k} \frac{z - k + n}{n} = \frac{z (z - 1) (z - 2) \dots (z - k + 1)}{k!} .

Това обобщение е известно като обобщен биномен коефициент и се използва при формулирането на биномната теорема.

Източници

Binomial coefficient – статия в Уикипедия на английски език [16 февруари 2008].

Вижте също

Триъгълник на Паскал

Външни препратки

Онлайн изчисляване – Биномен коефициент

Биномен коефициент

Съдържание

Формули, свързани с биномните коефициенти

Триъгълник на Паскал

Коефициенти до десети ред

Обобщение за отрицателни числа

Обобщение за реален и комплексен аргумент

Източници

Вижте също

Външни препратки

Навигация

Биномен коефициент

Формули, свързани с биномните коефициенти

Триъгълник на Паскал

Коефициенти до десети ред

Обобщение за отрицателни числа

Обобщение за реален и комплексен аргумент

Източници

Вижте също

Външни препратки

Навигация

Търсене