Медицентър

Шаблон:Без източници Медицентърът на триъгълник се нарича пресечната точка на медианите на триъгълника. Медицентърът разделя медианите в отношение 2:1 считано от върха към средата на срещуположната страна. Медицентърът съвпада с центъра на тежестта на триъгълна плоча изработена от еднороден материал. Най-важното свойство на медицентъра е $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$, където т.$O$ e произволна точка в равнината. Ето и доказателство:

$\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})$

$\overrightarrow{CG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})$

$\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{OC}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})$

$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC};\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OC}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC})$

$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$