Плътност на заряда

Плътността на заряда представлява количеството електрически заряд на единица дължина, площ или обем. Съответно тя бива линейна, повърхностна или обемна и се измерва в SI в: кулони на метър (C/m), кулони на квадратен метър (C/m²) и в кулони на кубичен метър (C/m³). За разлика от плътността на материята, плътността на заряда може да приема както положителни, така и отрицателни стойности. Това е свързано с факта, че съществуват положителни и отрицателни заряди.

Плътност на заряда в класическата физика

Разпределение на продължителен заряда. Обемната плътност на заряда ρ е количеството заряд на единица обем (куб), повърхностната плътност на заряда σ е количество на единица площ (кръг) с насочени навън нормала n̂, d е електрическият диполен момент между два точкови заряда, обемната плътност на тези е плътността на поляризация P. Радиус-векторът r е точка за изчисление на електричното поле; r′ е точка в заредения обект.

Линейната, повърхностната и обемната плътност на заряда обикновено се обозначават с функциите $\lambda (\overrightarrow{r})$, $\sigma (\overrightarrow{r})$ и $\rho (\overrightarrow{r})$ съответно, където $\overrightarrow{r}$ е радиус-вектор. Следващите определения важат за разпределение на продължителни заряди.

Линейната плътност на заряда е отношението на безкрайно малък електричен заряд dQ към безкрайно малък линеен елемент.

${\lambda }_q=\frac{dQ}{d\ell },$

аналогично плътността на повърхностния заряд използва площ на повърхнина dS

${\sigma }_q=\frac{dQ}{dS},$

и плътността на обемния заряд използва обем dV

${\rho }_q=\frac{dQ}{dV},$

Интегрирайки тези функции, можем да определим пълния заряд:

$Q=\underset{L}{\int }\lambda (\overrightarrow{r})\mathrm{d}r$

$Q=\underset{S}{\int }\sigma (\overrightarrow{r})\mathrm{d}S$

$Q=\underset{V}{\int }\rho (\overrightarrow{r})\mathrm{d}V$

Плътност на заряда в специалната относителност

В специалната теория на относителността дължината на даден проводник зависи от скоростта на наблюдателя. Следователно, плътността на заряда ще зависи и от скоростта. Плътността на заряда ρ и плътността на тока J се трансформират заедно като 4-токов вектор чрез трансформация на Лоренц.

Плътност на заряда в квантовата механика

В квантовата механика плътността на заряда (например електрони в атом) зависят от вълновата функция $\psi (\overrightarrow{r})$ така:

$\rho (\overrightarrow{r})=Q|\psi (\overrightarrow{r}){|}^2$

при което вълновата функция трябва да има вида:

$\int |\psi (\overrightarrow{r}){|}^2\mathrm{d}V=1$

Определение на плътността на заряда чрез делта функция

$\rho (\overrightarrow{r})=\sum _a{e}_a\delta (\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r_a})$

където сборът е равен на всички заряди, а $\overrightarrow{r_a}$ е радиус-векторът на заряда $e_a$. Пълният заряд, намиращ се в пространството, е равен на интеграла $\int \rho dV$ по цялото пространство. Този интеграл може да се запише в четиримерен вид:

$Q=\int \rho dV=\frac{1}{c}\int j^{0}dV=\frac{1}{c}\int j^{i}d{s}_i$

където интегрирането се извършва по всички четиримерни хиперплоскости, перпендикулярни на оста x⁰ (това означава и интегриране по цялото триизмерно пространство). $j^i$ – 4-вектора на плътността на тока.

Вижте също

• Плътност на тока

Източници

• Шаблон:Cite book