Формула на Моавър

В математиката Формулата на Моавър се отнася за всяко комплексно число (следователно и за всички реални числа) x и степенен показател n и гласи, че:

$(\cos (x)+i\sin (x){)}^n=\cos (nx)+i\sin (nx),$

където i е имагинерната единица, за която Шаблон:Math. Формулата е кръстена на френския математик Абрахам дьо Моавър. Изразът Шаблон:Math може да се изписва и като Шаблон:Math.

Формулата свързва комплексните числа с тригонометричните функции. Чрез разкриване на лявата страна на равенството и след сравняване на реалните и имагинерните части при предположението, че х е реално, могат да бъдат изразени Шаблон:Math и Шаблон:Math чрез Шаблон:Math и Шаблон:Math.

Доказателство

Формулата на Моавър може да бъде доказана чрез формулата на Ойлер, макар и хронологически да е измислена по-рано:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

и чрез свойството на степените:

${\left(e^{ix}\right)}^n=e^{inx}$

Тогава, по формулата на Ойлер:

$e^{inx}=\cos nx+i\sin nx.$

Следователно $(\cos (x)+i\sin (x){)}^n=\cos (nx)+i\sin (nx)$

Коренуване на комплексни числа

Формулата на Моавър може да бъде използвана за намирането на корен n-ти от някакво комплексно число.

Ако z е комплексно число, то тогава то може да бъде записано като:

$z=r(\cos x+i\sin x),$

Тогава корен n-ти от z се изчислява като:

$r^{\frac{1}{n}}(\cos \frac{x+2\pi k}{n}+i\sin \frac{x+2\pi k}{n})$

Където k е число между 0 и Шаблон:Math.

Тази формула понякога също е наричана формула на Моавър.

Източници

• Учебник по математика за 12 клас за профилирана подготовка, издателство „Просвета“.