Полилинейна алгебра

В алгебрата, полилинейната алгебра или многолинейна алгебра е екстензия на линейната алгебра, изучаваща полилинейни модули (виж също пръстенови модули и псевдопръстен в аналитичната алгебра и математическият анализ) и подлежащите им функции и изображения на няколко променливи.

Линейната алгебра е построена на концепцията за вектор и се развива върху теорията за векторните пространства, многолинейната алгебра надстроява, използвайки концепцията за p-вектора, p-векторни пространство (виж още Грасманова алгебра или още екстериорна алгебра)

Името произлиза от определението на полилинейните изображения, т.е. това са функции, линейни по всяка една от променливите си. В Грасмановата алгебра това са билинейните, полиуспоредните и квадратични форми, или дори 3D векторни фигури.

Основна роля в полилинейната алгебра за математическия анализ играят тензорното произведение, тензорите върху векторни пространства.

Основни понятия

Нека $M_1,M_2,...,M_k,M,N$ са $R$-модули, където $R$ е комутативен пръстен с единица. Нека $\varphi :M_1\times M_2\times \dots \times M_k\mapsto M$ е изображение от декартовото произведение $M_1\times M_2\times \dots \times M_k$ върху $M$. Изображението $\varphi$ ще наричаме полилинейно изображение ако е изпълнено $\begin{array}{c}\varphi (m_1,\dots ,m_{i-1},a{m}_{i_1}+b{m}_{i_2},m_{i+1},\dots ,m_k)=\\ =a\varphi (m_1,\dots ,m_{i-1},m_{i_1},m_{i+1},\dots ,m_k)+b\varphi (m_1,\dots ,m_{i-1},m_{i_2},m_{i+1},\dots ,m_k),\mathrm{\forall }a,b\in R,m_i\in M_i.\end{array}$

Основна задача в мултилинейната алгебра е изучаването на полилинейни изображения да се сведе до изучаване на линейни изображения. При дадени $M$ и $\varphi$ и някое полилинейно изображение $\psi :M_1\times M_2\times \dots \times M_k\mapsto N$, да се намери единствен хомоморфизъм $f:M\mapsto N$, такъв че: $f\circ \varphi =\psi$. Тогава записваме $M=M_1{\otimes }_R{M}_2{\otimes }_R\dots {\otimes }_R{M}_k$ и $\varphi (m_1,m_2,\dots ,m_k)=m_1{\otimes }_R{m}_2{\otimes }_R\dots {\otimes }_R{m}_k$. Произведението $M=M_1{\otimes }_R{M}_2{\otimes }_R\dots {\otimes }_R{M}_k$ наричаме тензорно произведение на $M_1,M_2,...,M_k$ относно $R$.

В геометрията

В някои аспекти полилинейната алгебра е вид геометрична алгебра. В математиката геометрична алгебра (geometric algebra, GA) на векторно пространство (space) е алгебра над математическо поле.

Виж още

• Хиперкомплексни числа

Литература

• Маклейн, С., Биркхоф, Г. (1974) Съвременна алгебра, София, Наука и изкуство.
• Кострикин, А., Манин, Ю. (1990) Линейна алгебра и геометрия, София, Наука и изкуство.
• Hermann Grassmann (2000) Extension Theory, American Mathematical Society. Translation by Lloyd Kannenberg of the 1862 Ausdehnungslehre.
• Fleming, Wendell H. (1977). Exterior algebra and differential calculus. Functions of several variables (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90206-6. OCLC 2401829.