Хипотеза на Риман

Хипотезата на Риман е известна нерешена задача от алгебричната теория на числата, свързана със свойствата на Римановата ζ-функция и разпределението на простите числа. Хипотезата гласи:

„Реалната част на всяка кратна нула на Римановата дзета-функция е равна на ½“.

Хилберт включва задачата за доказването на Римановата хипотеза в своето изложение за предизвикателствата пред математиката през ХХ век, в което той включва 23 нерешени задачи.

Римановата хипотеза и разпределението на простите числа

Трудно е да се види важността на Римановата хипотеза в нейната класическа формулировка. През 1901 Хелге фон Коф доказва еквивалетността на Римановата хипотеза и хипотезата, че за всяко ε>0 е вярно твърдението:

$|\pi (x)-\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\ln (t)}|=O(x^{1/2+\epsilon }),$

където функцията π(x) дава броя прости числа, по-малки от x, ln(x) е натуралният логаритъм, а O е функция, която „расте като“ $x^{1/2+\epsilon }$. Лоуел Шьонфелд намира трета еквивалентна формулировка на хипотезата:

$|\pi (x)-\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\ln (t)}|<\frac{1}{8\pi }\sqrt{x}\ln (x),\mathrm{\forall }x\ge 2657.$

Простите нули на ζ-функцията могат да бъдат разглеждани образи на простите числа в пространството на Фурие, т.е. кратните нули на ζ-функцията могат да бъдат разглеждани като хармонични честоти на функцията, даваща разпределението на простите числа. Шаблон:Мъниче