Теорема на Чева

Теоремата на Чева е класическа теорема за триъгълници в Евклидовата геометрия. Установена е от Джовани Чева през 1678 г.

Приложение

Теоремата гласи: Ако през всеки от върховете на триъгълник ABC минава по една права, пресичаща противоположната му страна съответно в точките D, E и F и ако трите прави се пресичат в една точка.

То винаги $\frac{AF}{FB}\times \frac{BD}{DC}\times \frac{CE}{EA}=1.$

Теоремата може да се види и в не толкова популярнатата ѝ тригонометрична форма $\frac{\sin (\mathrm{\angle }ABE)}{\sin (\mathrm{\angle }CBE)}\cdot \frac{\sin (\mathrm{\angle }BCF)}{\sin (\mathrm{\angle }ACF)}\cdot \frac{\sin (\mathrm{\angle }CAD)}{\sin (\mathrm{\angle }BAD)}=1$

Теоремата на Чева: трите отсечки се пресичат в точка от ABC.

Доказателство на теоремата

Нека трите прави се пресичат в точка „O“.

Лицето на триъгълник AFC = AF по височината към AF.

Лицето на триъгълник BFC = BF по височината към BF, която е равна височината към AF.

Следователно: S(AFC)/S(BFC) = AF/FB.

По същия начин, лицата на триъгълниците OBC и OAC се отнасят както АF към FB (S(OBC)/S(OAC) = FB/AF).

Аналогично:

S(BOA)/S(AOC) = BD/DC, S(ABO)/S(OBC) = AE/EC, S(OBC)/S(AOC) = FB/AF.

Сега се замества в уравнението:

$\frac{AF}{FB}\times \frac{BD}{DC}\times \frac{CE}{EA}=1=\frac{S(AOC)}{S(BOA)}\times \frac{S(BOA)}{S(OBC)}\times \frac{S(OBC)}{S(AOC)}=1.$

После, след съкращаване, се получава отговор 1 и теоремата е доказана.