T-J модел

През 1977 година за първи път Йозеф Спалек извлича t-J теорията от модела на Хъбърд. Той описва силно корелирани (т.е. свързани или зависещи едни от други) електронни системи за по-акуратно решение на проблема при високотемпературната свръхпроводимост.

Хамилтонианът на такъв вид фермионна система от тип t-J е :

$\hat{H}=-t\sum _{⟨ij⟩\sigma }({\hat{a}}_{i\sigma }^{†}{\hat{a}}_{j\sigma }+{\hat{a}}_{j\sigma }^{†}{\hat{a}}_{i\sigma })+J\sum _{⟨ij⟩}({\overrightarrow{S}}_i\cdot {\overrightarrow{S}}_j-\frac{n_i{n}_j}{4})$

където

• сумирането по i и j отговаря за взаимодействие между най-близки съседи,
• ${\hat{a}}_{i\sigma }^{†}$ и ${\hat{a}}_{i\sigma }$ са фермионните оператори на раждане и унищожение,
• σ е спиновата поляризация,
• t е интеграл на движение, който описва преместването (идва от английски hopping) на даден електрон в решетката,
• J е константа на връзката $J=\frac{4t^2}{U}$,
• U е електромагнитния Кулонов потенциал на отблъскване,
• $n_i=\sum _{\sigma }{\hat{a}}_{i\sigma }^{†}{\hat{a}}_{i\sigma }$ е общият брой на частиците в даден възел i, докато
• ${\overrightarrow{S}}_i$ и ${\overrightarrow{S}}_j$ са спиновете в съответните възли i и j в решетката.

Връзка с високотемпературната свръхпроводимост

Хамилтонианът на t₁-t₂-J модела по отношение на т. нар. двукомпонентни бозе-спинорни полета ( CP¹ полета) е:

$\mathscr{H}=t_1\sum _{⟨i,j⟩}(c_{i\sigma }^{†}{c}_{j\sigma }+\mathrm{h}\mathrm{.}\mathrm{c}\mathrm{.})+t_2\sum _{⟨⟨i,j⟩⟩}(c_{i\sigma }^{†}{c}_{j\sigma }+\mathrm{h}\mathrm{.}\mathrm{c}\mathrm{.})+J\sum _{⟨i,j⟩}({𝐒}_i\cdot {𝐒}_j-\frac{n_i{n}_j}{4})-\mu \sum _i{n}_i,$

където ${\hat{c}}_{i\sigma }^{†}$ и ${\hat{c}}_{i\sigma }$ са фермионните оператори на раждане и унищожение; ${\overrightarrow{S}}_i$ и ${\overrightarrow{S}}_j$ са векторите на спина съответно във възлите i и j на решетката, докато $n_i$ и $n_j$ действат върху ограничено Хилбертово пространство, а двойно заетите състояния се изключват (h.c. са допълнителни ермитово спрегнати членове). Сумите в гореспоменатото уравнение са по всички решетъчни възли в двумерна квадратна решетка, докато с ⟨...⟩ и ⟨⟨...⟩⟩ са означени съответно най-близките и следващите най-близки съседи.

Източници