Число на Мерсен

Число на Мерсен (също мерсеново число) се нарича всяко число от вида:

$M_n=2^n-1$ (за n > 1).

Кръстено е на френския математик Марен Мерсен (1588 – 1648). Интерес за теория на числата представляват тези мерсенови числа, които са прости. Известни са под наименованието мерсенови прости числа. Ако едно мерсеново число $M_n$ е просто, то и $n$ би трябвало да е просто число. Обратното обаче невинаги е вярно. Например:

$M_{11}=2^{11}-1=2047=23\cdot 89$

Това е и най-малкото мерсеново съставно число с експонента ($n$) просто число. Най-малкото мерсеново число с експонента съставно число е:

$M_4=2^4-1=15=3\cdot 5$

Мерсеновите и съвършените числа

Простите мерсенови числа са тясно свързани със съвършените числа. Всички известни съвършени числа са четни и се получават по формулата:

$2^{n-1}(2^n-1)$,

където $2^n-1$ e мерсеновото число $M_n$. Горната формула е използвана от Евклид за пресмятането на първите четири съвършени числа (6, 28, 496, 8128) и стига до нас с неговото съчинение „Елементи“. С помощта на тази формула търсенето на четни съвършени числа се свежда до търсене на мерсенови числа.

Все още не е известно дали простите мерсенови числа, а съответно и четните съвършени числа са безбройно много или са краен брой. Този математически проблем остава нерешен, въпреки че търсенето на мерсенови числа се извършва с помощта на много мощни компютри.

Компютърната ера в търсенето на мерсенови числа

Графика на броя на цифрите в най-големите известни мерсенови прости числа — вертикалната скала е логаритмична

Революция в търсенето на мерсенови прости числа е въвеждането на електронните цифрови компютри. Първият успех на компютрите е M₅₂₁, открито на 30 януари 1952 г. с помощта на SWAC в Института по числен анализ в Калифорнийския университет — Лос Анжелис, с компютърна програма, написана и пусната от проф. Рафаел М. Робинсън. Следващо е M₆₀₇, намерено с компютър след по-малко от две години. Числата M₁₂₇₉, M₂₂₀₃ и M₂₂₈₁ са намерени със същата програма няколко месеца по-късно. M₄₂₅₃ е първото мерсеново просто число титан, M₄₄₄₉₇ е първото мерсеново просто число гигант и M_6 972 593 е първото мерсеново просто мегачисло – с най-малко 1 000 000 цифри.

Списък на първите 12 мерсенови прости числа

Първите четири мерсенови прости числа – $M_2=3$, $M_3=7$, $M_5=31$ и $M_7=127$ са били известни в античността. Петото – $M_{13}=8191$, е с неизвестно авторство от 1461 г. Следващите две – $M_{17}$ и $M_{19}$, са намерени от Пиетро Каталди през 1588 г. След близо два века, през 1772 г. Леонард Ойлер доказва, че $M_{31}$ е просто число. Исторически следващото $M_{127}$ е открито от френския математик Едуар Лука през 1876 г., резултат от 19-годишни изчисления на ръка. Вероятно това завинаги ще остане най-голямото мерсеново просто число, изчислено на ръка. След него през 1883 година руският свещеник и математик Иван Первушин открива $M_{61}$. Числата $M_{89}$ и $M_{107}$ са намерени в началото на XX век от Ралф Пауърс през 1911 г. и съответно през 1914 г. Първите 12 мерсенови прости числа са открити без помощта на компютри.

Последователности A000043 (за $n$) и A000668 (за $M_n$) в OEIS.

1. $M_2$ = 3
2. $M_3$ = 7
3. $M_5$ = 31
4. $M_7$ = 127
5. $M_{13}$ = 8191
6. $M_{17}$ = 131 071
7. $M_{19}$ = 524 287
8. $M_{31}$ = 2 147 483 647
9. $M_{61}$ = 2 305 843 009 213 693 951
10. $M_{89}$ = 618 970 019 642 690 137 449 562 111
11. $M_{107}$ = 162 259 276 829 213 363 391 578 010 288 127
12. $M_{127}$ = 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727

Вижте също

• Съвършено число
• Просто число