Четиридесетиосмоъгълник

Правилен четиридесетиосмоъгълник

Четиридесетиосмоъгълникът (също и тетраконтаоктагон) е многоъгълник с 48 страни и ъгли. Сборът на всички вътрешни ъгли е 8280° (46π). Има 1080 диагонала.

Правилен четиридесетиосмоъгълник

При правилния четиридесетиосмоъгълник всички страни и ъгли са равни. Вътрешният ъгъл е 172,5°, а външният и централният – 7,5°.

Лице

Лицето S на правилен четиридесетиосмоъгълник може да бъде намерено по три начина:

• По страната a:

$\begin{array}{cc}S& =12a^2\cdot \cot (\frac{\pi }{48})\\ & =12a^2(2+\sqrt{3}+\sqrt{8+4\sqrt{3}}+\sqrt{16+8\sqrt{3}+2\sqrt{104+60\sqrt{3}}})\\ & =12a^2(2+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2\sqrt{4+2\sqrt{3}+\sqrt{26+15\sqrt{3}}})\\ & \approx 183,08462a^2\end{array}$

• По радиуса R на описаната окръжност:

$S=24R^2\cdot \sin (\frac{\pi }{24})\approx 3,1326286R^2$

• По радиуса r на вписаната окръжност (т.е. апотемата):

$S=48a^2\cdot \tan (\frac{\pi }{48})\approx 3,1460862r^2$

Построение

Тъй като 48 е произведение на 2⁴ и 3, което е просто число на Ферма, правилен четиридесетиосмоъгълник може да бъде построен с линийка и пергел по подобие на дванадесетоъгълник.