Уравнения на Еренфест

Уравненията на Еренфест са уравнения, описващи промяната в специфичния топлинен капацитет и производните на специфичния обем във фазов преход от втори род (според класификацията на Еренфест). При такива преходи, уравнението на Клаузиус-Клапейрон е неприложимо , тъй като и специфичния топлинен капацитет, и специфичния обем не се променят във фазовия преход от втори род.

Формално представяне

Уравненията на Еренфест са следствие от непрекъснатостта на специфичната ентропия и специфичния обем (ентропията на единица маса и обемът на единица маса). Тези две величини са първи производни на свободната енергия на Гибс. Специфичната ентропия $s$ може да бъде разгледана като функция от температурата и налягането, единствено. Тогава пълният ѝ диференциал придобива вида:

$ds={\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)}_{P}dT+{\left(\frac{\partial s}{\partial P}\right)}_{T}dP$.

Като се имат предвид връзките между специфичната ентропия $s$ и специфичния топлинен капацитет $c_P$ и специфичния обем $v$: :${\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)}_P=\frac{c_P}{T},{\left(\frac{\partial s}{\partial P}\right)}_T=-{\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)}_P$, диференциалът на специфичната ентропия може да се напише по следния начин:

$d{s}_i=\frac{c_{iP}}{T}dT-{\left(\frac{\partial v_i}{\partial T}\right)}_{P}dP$

Ако отбележим специфичния топлинен капицет във фаза 1 ($i=1$ в горната формула) с $c_{1P}$, а този във фаза 2 ($i=2$ в горната формула) с $c_{2P}$, и аналогично, специфичните обеми и специфичните ентропии в съответните фази съответно с $v_1$, $v_2$, $s_1$ и $s_2$. Поради непрекъснатостта на специфичната ентропия във фазовите преходи от втори род, равенството $(d{s}_1)=(d{s}_2)$ е в сила. Замествайки с израза за пълния диференциал на специфичната ентропия получаваме:

$\left(c_{2P}-c_{1P}\right)\frac{dT}{T}=\left[{\left(\frac{\partial v_2}{\partial T}\right)}_P-{\left(\frac{\partial v_1}{\partial T}\right)}_P\right]dP$

Откъдето следва първото уравнение на Еренфест :

$\mathrm{\Delta }{c}_P=T\cdot \mathrm{\Delta }\left({\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)}_P\right)\cdot \frac{dP}{dT}$

Второто уравнение на Еренфест се получава по подобен начин, но специфичната ентропия се разглежда като функция от температурата и специфичния обем:

$\mathrm{\Delta }{c}_P=-T\cdot \mathrm{\Delta }\left({\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_v\right)\cdot \frac{dv}{dT}$

Третото уравнение на Еренфест се получава като специфичната ентропия се разглежда като функция на $V$ и $P$.

$\mathrm{\Delta }{\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)}_P=\mathrm{\Delta }\left({\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_v\right)\cdot \frac{dv}{dP}$

Непрекъснатостта на специфичния обем като функция от $T$ и $P$ дава четвъртото уравнение Эренфест:

$\mathrm{\Delta }{\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)}_P=-\mathrm{\Delta }\left({\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)}_T\right)\cdot \frac{dP}{dT}$

Ограничения

Ограниченията пред приложенията на Уравненията на Еренфест са в това, че производните свободната енергия на Гибс не винаги са крайни (понякога клонят към безкрайност). Преходите между различните състояния на намагнетизирани метали не могат да бъдат описани от Уравненията на Еренфест.

Вижте също

• Пол Еренфест
• Уравнения на Клаузиус-Клапейрон
• Фазов преход