Уравнение на Фокер-Планк

Уравнението на Фокер-Планк е частно диференциално уравнение, чието решение е плътността на вероятността за преход в марковски процес. Търсената плътност на вероятността може да е тази на скоростта, но уравнението може да бъде обобщено и за други наблюдаеми физически величини. Първоначално, уравнението е написано за изследване на брауновото движение. Уравнението на Лиувил е частен случай на уравнението на Фокер-Планк за нулева дифузия.

Едномерно

В едномерно пространство x, за процес на Ито с дадено стохастично диференциално уравнение

$d{X}_t=\mu (X_t,t)dt+\sqrt{2D(X_t,t)}d{W}_t,$

отклонение $\mu (X_t,t)$ и дисперсионен коефициент $D(X_t,t)$, уравнението на Фокер-Планк за вероятностната плътност $f(x,t)$ на случайната величина $X_t$ е

$\frac{\partial }{\partial t}f(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}[\mu (x,t)f(x,t)]+\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}[D(x,t)f(x,t)].$

Връзката между стохастичното диференциално уравнение и частното диференциално уравнение са задава от формулата на Фейнман-Кахц.

Предхождащият стохастичен процес се задава, в рамките на интеграла на Стратонович, чрез:

$d{X}_t=[\mu (X_t,t)-\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial X_t}D(X_t,t)]dt+\sqrt{2D(X_t,t)}d{W}_t.$