Теорема на Вивиани

Нека $P$ e вътрешна точка от равнината на един триъгълник. С $d_a,d_b,d_c$ да означим разстоянията от $P$ до страните $a,b,c$ на триъгълника. Тогава ако с $h_a,h_b,h_c$ сме означили височините към $a,b,c$, то е изпълнено: $$\frac{d_a}{h_a}+\frac{d_b}{h_b}+\frac{d_c}{h_c}=1$$

Доказателство: Очевидно $S_{\mathrm{△}}=S_a+S_b+S_c$ където с $S_k$, $k=a,b,c$ сме положили лицето на триъгълника с върхове краищата на страната $k$ и точка $P$. В такъв случай следва твърдението на теоремата: $$\frac{S_a}{S_{\mathrm{△}}}+\frac{S_b}{S_{\mathrm{△}}}+\frac{S_c}{S_{\mathrm{△}}}=\frac{a.d_a}{a.h_a}+\frac{b.d_b}{b.h_b}+\frac{c.d_c}{c.h_c}=1$$

Следствие: Нека с $r$ сме означили радиуса на вписаната окръжност. В такъв случай ако $P$ беше центърът на тази окръжност, то от теоремата на Вивиани следва: $$\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_a}=\frac{1}{r}$$

Вижте също

• Винченцо Вивиани