Теорема на Болцано – Вайерщрас (за безкрайните редици)

Шаблон:Без източници Шаблон:Към пояснение Теоремата на Болцано – Вайерщрас (за безкрайните редици) гласи, че: Всяка безкрайна и ограничена редица $r:\mathbb{N}\to ℝ$ притежава сходяща подредица.

Доказателство

Нека $r:\mathbb{N}\to ℝ$ и $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}a\le r_n\le b$ Ако $r$ има точка на сгъстяване $l$, то очевидно $l\in [a;b]$.

Да допуснем, че $r$ няма точка на сгъстяване. Тогава $\mathrm{\forall }x\in [a;b]\mathrm{\exists }$ околност $U_x$ на $x$, такава че $U_x$ съдържа само краен брой членове на $r$.

Тогава обединението $\mathrm{\Omega }=\cup U_x$ е покритие на интервала $[a;b]$. От теоремата на Хайне – Борел следва, че $\mathrm{\Omega }$ има крайно подпокритие ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }$, състоящо се от краен брой интервали, всеки от които съдържа само краен брой членове на $r$. Но $r$ има безбройно много членове в интервала $[a;b]$, което е противоречие и следователно $r$ има точка на сгъстяване. С това теоремата е доказана.

Тази теорема е доказана от чешкия математик Болцано през 1817 г., а по-късно независимо от него е получена от Вайерщрас. Тя е една от основните теореми в математическия анализ.