Супремум-норма

Супремум-нормата е понятие от функционалният анализ. Тя се използва за нормиране на пространства от ограничени функции. Във векторното пространство ${\ell }^{\mathrm{\infty }}(M,Y)$ на ограничените функции

$f:M\to Y$

изобразяващи непразно множество $M$ в нормираното пространство $(Y,\Vert \cdot {\Vert }_Y)$ супремум-нормата се дефинира чрез

$\Vert f{\Vert }_{{\ell }^{\mathrm{\infty }}}:={\text{sup}}_{x\in M}|f(x)|$.

По-рядко използвано наименование е норма на Чебишев.

Свойства

За точка от страните на квадрата е изпълнено $\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=1$.

Пространството на всички (ограничени и неограничени) функции $f:M{}^{\to }Y$ не може да бъде нормирано с помощта на супремум-нормата. За него обаче може да се дефинира топология такава, че топологията на неговото подпространство ${\ell }^{\mathrm{\infty }}(M,Y)$ да съвпада с индуцираната от супремум-нормата топология.

Ако $M$ е компактно метрично пространство, то пространството $C(M)$ на непрекъснатите функции $f:M{}^{\to }Y$ е подпространство на ${\ell }^{\mathrm{\infty }}(M,Y)$ и може да бъде нормирано чрез максимум-нормата:

$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}:={\text{max}}_{x\in M}|f(x)|$,

която в частност съвпада със супремум-нормата. $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ понякога се използва и за означаване на супремум-нормата. Че пространството $C(M)$ може да бъде нормирано чрез максимум-нормата, следва от обобщението на теоремата на Вайерщрас гласящо, че непрекъснатите образи на компактни пространства са компактни. Нормираното пространство $(C(M),\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }})$ е банахово.

Функцията

$d(f,g)=\Vert f-g{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$

е метрика в пространството на всички ограничени функции (и очевидно на всички негови подпространства) с дадена дефиниционна област. Редицата { f_n: n = 1, 2, 3, ... } клони равномерно към функцията f тогава и само тогава, когато

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\Vert f_n-f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=0.$

Примери

Следващите три нормирани чрез супремум-нормата векторни пространства от редици са банахови.

• Пространсвото на клонящите към 0 реално- или комплекснозначни редици: $c_0=\{(t_n):t_n\in 𝕂,{\text{lim}}_{n\to \mathrm{\infty }}{t}_n=0\}$ (Тук $𝕂$ е $ℝ$ или $ℂ$.)
• Пространсвото на сходящите редици: $c=\{(t_n):t_n\in 𝕂,\mathrm{\exists }t({\text{lim}}_{n\to \mathrm{\infty }}{t}_n=t)\}$
• Пространсвото на ограничените редици: ${\ell }^{\mathrm{\infty }}(\mathbb{N})=\{(t_n):t_n\in 𝕂,\mathrm{\exists }t\mathrm{\forall }n(|t_n|<t)\}$

Последното пространство има връзка с пространствата на сумируемите редици:

${\ell }^p=\{(t_n):t_n\in 𝕂,\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|t_n{|}^p<\mathrm{\infty }\}$

нормирани чрез

$\Vert x{\Vert }_{{\ell }^p}={(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|t_n{|}^p)}^{\frac{1}{p}}$

за $1\le p<\mathrm{\infty }$. В сила е

$\mathrm{\forall }x\in {\ell }^1(\mathbb{N})({\text{lim}}_{p\to \mathrm{\infty }}\Vert x{\Vert }_{{\ell }^p}=\Vert x{\Vert }_{{\ell }^{\mathrm{\infty }}})$

За обобщаване на този резултат за интегруеми функции е необходимо въвеждането на понятието съществена супремум-норма.

Пространството $C^1([a,b])$ на функциите с непрекъсната първа производна и дефиниционна област затворения интервал $[a,b]$ нормирано чрез супремум-нормата не е банахово, но пространството на функциите с непрекъсната $r$-та производна нормирано чрез

$\Vert f\Vert =\sum _{i=0}^r{\Vert \frac{{\mathrm{d}}^{i}f}{\mathrm{d}{x}^i}\Vert }_{{\ell }^{\mathrm{\infty }}}$

е банахово.

Вижте също

• Пространство Lp
• Равномерна сходимост

Литература

• Mathieu M., Funktionalanalysis, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 1998, ISBN 3-8274-0153-4
• Dubrowski M., Angewandte Funktionalanalysis, Springer, Berlin, 2006, ISBN 3-540-25395-5
• Alt H., Lineare Funktionalanalysis, Springer, Berlin, 2006, ISBN 3-540-34186-2
• Werner D., Funktionalanalysis, Springer, Berlin, 2005, ISBN 3-540-21381-3