Равномерна непрекъснатост

Шаблон:Без източници Функцията $f(x)$ е равномерно непрекъсната, ако малки промени по $x$ (които ще бележим с $\delta$) отговарят на малки промени по ординатата (които ще бележим с $ϵ$) – което изразява условието за непрекъснатост – и освен това $ϵ$ трябва да не зависи от х, а само от $\delta$. По-точно, една функция е равномерно непрекъсната, ако за всяко ε>0, съществува δ>0, такова че от |x-y|<δ да следва |f(x)-f(y)|<ε.

Всяка равномерно непрекъсната функция е непрекъсната, но обратното твърдение е невярно. Като пример може да бъде дадена функцията $f(x)=\frac{1}{x}$ в областта на положителните реални чесла. Тази функция е непрекъсната, но не е равномерно непрекъсната, защото, когато x клони към 0, f(x) нараства неограничено – т.е. малки промени по х „близо“ до нулата и „далече“ от нея отговарят на изменения в f(x) от различни порядъци. Ако обаче се знае, че $f$ е непрекъсната върху краен затворен интервал, то теоремата на Кантор осигурява равномерна непрекъснатост в този интервал. Шаблон:Мъниче