Прост идеал

Шаблон:Без източници Прост идеал в теория на пръстените е алгебрична структура, вид идеал удоволетворяващ допълнителни условия, подобна на понятието просто число от теория на числата.

Общо определение

Нека $R$ пръстен и $P$ е собствен идеал на пръстена. Нека $A$ и $B$ са два произволни идеала на $R$. $P$ е прост идеал на $R$, ако от това, че произведението $AB\subset P$, следва, че или $A\subset P$ или $B\subset P$.

Определение за комутативни пръстени

Нека $R$ е комутативен пръстен с единица, $P$ е собствен идеал на пръстена и $x,y\in R$. $P$ е прост идеал на $R$, ако от $x,y\in P$ следва $x\in P$ или $y\in P$.

Горното условие може да се изрази и по следните еквивалентни начини:

• $x\in ̸P,y\in ̸P\Rightarrow xy\in ̸P$
• $x_1\mathrm{...}{x}_n\in P\Rightarrow \mathrm{\exists }{x}_i\in P,i=\mathrm{1...}n$
• $P$ е прост идеал за пръстена $R$, когата факторпръстена $P$ е област.