Овал на Касини

Овал на Касини

Овал на Касини или крива на Касини е плоска алгебрична крива от четвърта степен, представляваща множеството от точките, произведението на разстоянията от които до две зададени точки е постоянно число (лемниската с два фокуса).

В декартова координатна система с начало средата на отсечката между двата фокуса и абсциса по продължение на същата отсечка, уравнението на овала на Касини е

$(x^2+y^2+c^2{)}^2-4c^2{x}^2=a^4$,

където c е половината от разстоянието между фокусите, т.е. координатите на фокусите са F₁(c,0) и F₂(-c,0).

В полярна координатна система уравнението на кривата е

$r^2=c^2\cos 2\phi \pm \sqrt{c^4{\cos }^{2}2\phi +a^4-c^4}$,

което се получава след полагане на $x=r\cos \phi$ и $y=r\sin \phi$.

Класификация

Овалите на Касини като сечения на тор с равнина

Формата на един овал на Касини зависи от отношението между a, c и $c\sqrt{2}$. Пълното разбиране за същността на кривата на Касини идва когато се даде нейната геометрична визуализация: а именно кривата на Касини представлява сечение на тор с равнина успоредна на оста на ротация. Формата на кривата зависи от това къде ще бъде отсечен торът.

• При a < c овалът на Касини се състои от две поотделно свързани затворени изпъкнали криви.

• При a = 0, двете примки се израждат до симетрични окръжности.
• При 0 < a < c, кривата се разпада на две симетрични относно ординатата половини, наричани „примки“ или „яйца“ ([1]Шаблон:Dead link).

• При $a\ge c$, кривата е едносвързана. Пресича оста x в точките $S_1(-\sqrt{a^2+c^2},0)$ и $S_2(\sqrt{a^2+c^2},0)$, а пресича оста y в точките $N_1(0,-\sqrt{a^2-c^2})$ и $N_2(0,\sqrt{a^2-c^2})$.

• В частния случай a = c се получава лемнискатата на Бернули, за която точките $N_1,N_2$ съвпадат, т.е. кривата има една точка на самопресичане ([2]).
• При $c<a<c\sqrt{2}$, овалът на Касини се вдлъбва и точките $N_1$ и $N_2$ вече играят ролята съответно на локални максимум и минимум. Освен тях овалът има още 4 инфлексни точки и още 4 локални екстремума. В математическия фолклор кривата в този случай се нарича също „фъстък“ ([3]Шаблон:Dead link).
• За $a=c\sqrt{2}$, кривината в точките $N_1$ и $N_2$ е нула. В околност на тези точки допирателните към овала на Касини съвпадат с кривата.
• При $a\ge c\sqrt{2}$, точките $N_1$ и $N_2$ играят ролята съответно на минимум и максимум. Кривата е изпъкнала и поради формата си шеговито е наричана „пъпеш“.

История

Около 1680 Джовани Касини е изследвал фамилия криви, които е смятал че описват орбитата на земята около слънцето. Частния случай при a = c е изследван през 1694 г. от Якоб Бернули, който обаче не е имал представа за връзката между неговата крива и овалите на Касини. Тази връзка, както и представянето на овалите като сечения на тор с равнина се установява едва през XIX в.

Външни препратки

• Страница за овалите на Касини от сайта на Система Mathematica
• Интерактивна визуализация на овал на Касини с Java аплет Шаблон:Webarchive
• „Яйца, пъпеши и фъстъци - Овалът на Касини“, Пол БуркеШаблон:Dead link
• Овалът на Касини в 2dcurves.com
• Овалът на Касини в xahlee.org