Най-малко общо кратно

В аритметиката и теорията на числата, най-малко общо кратно на две различни от нула цели числа a и b е най-малкото цяло положително число, което може да се раздели както на a, така и на b.

Дадени са две цели числа a и b. Минималното естествено число d (d > 0) такова, че a|d и b|d се нарича най-малко общо кратно (НОК) на a и b.

По-лесно намиране на НОК

Напишете числата, на които трябва да получите НОК, отделени с точка и запетая пред отвесна черта. Тъй като търсим най-малко общо кратно трябва да намерим най-малкият делител на тези числа.

Например: НОК на (6 и 16)

6; 16 | 2

3; 8 | 2

3; 4 | 2

3; 2 | 2

3; 1 | 3

1; 1 |

НОК = 2·2·2·2·3 = 48

Разлагаме само на прости множители. Т.е. НОК на две числа може да се разгледа като обединение на каноничното им разлагане на прости множители (обратно – НОД се разглежда като сечение). Нека са ни дадени числата a и b, и нека имаме техните разлагания, като и в двете разлагания участват едни и същи прости числа (тези, които се срещат в поне едно от разлаганията на a и b), като за „чуждите“ множители се поставя 0-ва степен:

$a=p_1^{r_1}\dots p_k^{r_k},b=p_1^{q_1}\dots p_k^{q_k},q_i\ge 0,r_i\ge 0(i=1,\dots ,k)$

Тогава за НОК (бележим [a,b]) и НОД (бележим (a,b)) имаме:

$[a,b]=p_1^{max(r_1,q_1)}\dots p_k^{max(r_k,q_k)},(a,b)=p_1^{min(r_1,q_1)}\dots p_k^{min(r_k,q_k)}$

От последното:

$[a,b](a,b)=p_1^{max(r_1,q_1)+min(r_1,q_1)}\dots p_k^{max(r_k,q_k)+min(r_k,q_k)}=p_1^{r_1+q_1}\dots p_k^{r_k+q_k}=ab$

Последното дава ефективен алгоритъм за изчисляването на НОК (чрез пресмятането на НОД, за което имаме ефективен метод – алгоритъма на Евклид). Първоначалният начин изискваше разлагането на прости множители, което няма ефективно алгоритмично решение.