Многомащабно приближение

Многомащабно приближение (Шаблон:Lang, MRA) е главният метод за изграждане на Дискретно уейвлет преобразование с практическо приложение, както и обосновката за алгоритъма за бързото уейвлет преобразование (БВП). Въведено е през 1988/89 от Стефан Малат и Ив Мейе.

Определение

Многомащабно приближение в пространството $L^2(ℝ)$ се състои от поредица от вложени едно в друго линейни подпространства

$\dots \subset V_0\subset V_1\subset \dots \subset V_n\subset V_{n+1}\subset \dots \subset L^2(ℝ),$

които изпълняват дадени отношения на самоподобие във времевата/пространствената област и мащабната/честотната област, както и пълнота и условия за регулярност.

• Самоподобие във времевата област изисква всяко подпространство V_k да бъде инвариантно спрямо транслации с целочислени кратни на 2^{— k}. Другояче казано за всяко $f\in V_k,m\in \mathbb{Z}$ съществува $g\in V_k$, такова че $\mathrm{\forall }x\in ℝ:f(x)=g(x+m{2}^{-k})$.
• Самоподобие в мащабната област изисква всички подпространства $V_k\subset V_l,k<l,$ да са мащабирани във времето копия едно на друго с коефициент на мащабиране съответно 2^l—k. С други думи за всяко $f\in V_k$ съществува $g\in V_l$, такова че $\mathrm{\forall }x\in ℝ:g(x)=f(2^{l-k}x)$. Ако f е с ограничен носител, то носителят на g се смалява, т.е. разделителната способност на l-тото подпространство е по-висока, отколкото на k-тото.
• Регулярността изисква всяко изначално подпространство V₀ да бъде породено от линейната обвивка на целочислените транслации на една или краен брой пораждащи функции $\varphi$ или ${\varphi }_1,\dots ,{\varphi }_r$. Тези целочислени транслации трябва да бъдат базис на подпространството $V_0\subset L^2(ℝ)$. Пораждащите функции се наричат още мащабиращи функции или уейвлети-бащи. В повечето случаи на тях се поставя условие да са отчасти непрекъснати с компактен носител.

• Пълнотата изисква вложени едно в друго подпространства да покриват цялото пространство, т.е. обединението им да е навсякъде гъсто в $L^2(ℝ)$. Освен това се изисква те да не са редундантни, т.е. сечението им да съдържа само нулевия елемент.

Важни заключения

В случая на един непрекъснат уейвлет-баща с компактен носител, чиито транслации са ортогонални, могат да се извлекат няколко следствия. Доказателството за съществуването на такъв клас от функции дължим на Ингрид Добеши.

Понеже $V_0\subset V_1$ съществува крайна редица от коефициенти $a_k=2⟨\varphi (x),\varphi (2x-k)⟩$, за $|k|\le N$ и $a_k=0$ за $|k|>N$, такива че

$\varphi (x)=\sum _{k=-N}^N{a}_k\varphi (2x-k).$

Дефинирайки друга функция, наречена уейвлет-майка или просто уейвлет,

$\psi (x):=\sum _{k=-N}^N(-1{)}^k{a}_{1-k}\varphi (2x-k),$

се вижда, че пространството $W_0\subset V_1$, дефинирано като линейната обвивка на целочислените транслации на уейвлета-майка, е ортогоналното допълващо пространство на V₀ в V₁. Или по друг начин $V_1$ е ортогоналната сума на W₀ и V₀. От самоподобието следва, че съществуват мащабирани копия W_к на W₀, а от пълнотата, че

$L^2(ℝ)=\overline{\underset{k\in \mathbb{Z}}{⨁}{W}_k},$

Следователно множеството

$\{{\psi }_{k,n}(x)={\sqrt{2}}^k\psi (2^{k}x-n):k,n\in \mathbb{Z}\}$

е изброим пълен ортонормиран базис в $L^2(ℝ)$.

Вижте също

• Многомащабно моделиране
• Мащабно пространство

Литература

• S.G. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, Academic Press, 1999, ISBN 012466606X
• Charles K. Chui, An Introduction to Wavelets, (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0585470901
• C.S. Burrus, R.A. Gopinath, H. Guo, Introduction to Wavelets and Wavelet Transforms: A Primer, Prentice-Hall, 1988, ISBN 0124896009.
• www.cmap.polytechnique.fr Шаблон:Webarchive