Критерий за устойчивост на Раус

Критерият за устойчивост на Раус е един от методите за анализ на устойчивост на линейна стационарна динамична система. Заедно с критерия на Хурвиц (който често се нарича критерий на Раус-Хурвиц), той е от групата на алгебричните критерии за устойчивост (за разлика от честотните критерии, като критериите за устойчивост на Найкуист и Михайлов). Предложен е от Eдуард Раус през 1875 г. Шаблон:Sfn

Eдуард Раус

Въпреки факта, че критерият на Раус е предложен исторически по-рано от критерия на Хурвиц, той може да се използва като по-удобна схема за изчисляване на определителите на Хурвиц, особено за големи степени на характеристичния полином. Шаблон:Sfn

Предимствата на метода включват проста реализация на компютър с помощта на рекурсивен алгоритъм, както и лесен анализ за системи от малък (до 3) ред. Недостатък е липсата на нагледност на метода: при използването му е трудно да се получи информация за степента на устойчивост, за запасите от устойчивост.

Формулировка

Методът работи с коефициентите на характеристичното уравнение на системата. Нека $W(p)=\frac{Y(p)}{H(p)}$ е предавателната функция на системата, а $H(p)=0$ – характеристичното уравнение на системата. Представя се характеристичният полином $H(p)$ във вида

$H(p)=a_0{p}^n+a_1{p}^{n-1}+...+a_n$

Критерият на Раус е алгоритъм, чрез който се съставя специална таблица, в която коефициентите на характеристичния полином се записват по такъв начин, че:

1. първият ред съдържа коефициентите на уравнението с четни индекси във възходящ ред;
2. вторият ред – с нечетни;
3. останалите елементи на таблицата се определят по формулата: $c_{k,i}=c_{k+1,i-2}-r_i\cdot c_{k+1,i-1}$, където $r_i=\frac{c_{1,i-2}}{c_{1,i-1}},i\ge 3$ е номер на реда, $k$ – номер на стълба;
4. броят на редовете в таблицата на Раус е с един по-голям от реда на характеристичното уравнение.

Таблица на Раус:

$ri$	$\Downarrow i⟹k$	1	2	3	4
-	1	$c_{1,1}=a_0$	$c_{2,1}=a_2$	$c_{3,1}=a_4$	...
-	2	$c_{1,2}=a_1$	$c_{2,2}=a_3$	$c_{3,2}=a_5$	...
$r_3=\frac{c_{1,1}}{c_{1,2}}$	3	$c_{1,3}=c_{2,1}-r_3\cdot c_{2,2}$	$c_{2,3}=c_{3,1}-r_3\cdot c_{3,2}$	$c_{3,3}=c_{4,1}-r_3\cdot c_{4,2}$	...
$r_4=\frac{c_{1,2}}{c_{1,3}}$	4	$c_{1,4}=c_{2,2}-r_4\cdot c_{2,3}$	$c_{2,4}=c_{3,2}-r_4\cdot c_{3,3}$	$c_{3,4}=c_{4,2}-r_4\cdot c_{4,3}$	...
...	...	...	...	...	...

Критерий на Раус: Шаблон:Цитат

Вижте също

• Критерий за устойчивост на Хурвиц
• Критерият за устойчивост на Найкуист
• Критерият за устойчивост на Михайлов
• Теорема на Раус-Хурвиц
• Теорема на Ермите-Билер
• Маркеры устойчивости линейных динамических систем

Литература

• Михаил МихайловичПостников – Устойчивые многочлены – Москва, издательство „Наука“, 1981, 176 страниц.
• Чернецкий В. И. – Математическое моделирование динамических систем, издательство „Петрозаводский гос. ун-т“, Петрозаводск, 1996, 432 страницы, isbn=5-230-08981-4.