Конюнкция

Конюнкцията $A\wedge B$ представена чрез диаграмите на Вен като сечение на множества: нещата, които са както А, така и В

Конюнкция се нарича както едно сложно (съобщително) изречение, възникнало от свързването на две (съобщителни) изречения чрез съюза „и“ (които в случая играят ролята на негови „подизречения“, наричани „конюнкти“), така и самият съюз „и“, разбиран в смисъла на логическа частица или логически оператор, който създава следната истинностно-функционална зависимост: едно конюнктивно изречение е истинно (има стойност по истинност И), когато всички негови подизречения са истинни, и неистинно (има стойност по истинност Н), когато поне едно от тях е неистинно. За да се различават конюнкцията в смисъла на специфичен вид сложно изречение и конюнкцията в смисъла на логически оператор, някои автори запазват думата „конюнкция“ само за сложното изречение и използват за оператора термина „конюнктор“. Символният израз на конюнктора е знакът $\wedge$. Условията за истинност на една конюнкция $p\wedge q$ между изреченията $p$ и $q$ могат да се посочат чрез следната таблица:

аргумени		функция
$p$	$q$	$p$ $\wedge$ $q$
И	И	И
И	Н	Н
Н	И	Н
Н	Н	Н

където първите две колонки – тази под $p$ и и тази под $q$ – показват във всеки ред по една от четирите възможни комбинации на стойностите по истинност $p$ и $q$, а именно И (истина) и Н (неистина), а колонката под $p\wedge q$ показва каква е даваната от $p\wedge q$ стойност по истинност за съответната комбинация. Тъй като както $p$, така и $q$, може да получи точно една от две стойности – И, ако е истинно, и Н, ако е неистинно, – възможните комбинации на техните стойности, както се вижда, са четири и съответно са четири и случаите, в които $p\wedge q$ дава по една стойност по истинност. Огледалната операция на конюнкцията $\wedge$ е дизюнкцията $\vee$.

Заключенията, които се получават въз основа на значението на конюнктора, се изследват в пропозиционалната логика. $\wedge$ е логическа константа в езика на пропозиционалната логика.

Пример за конюнктивно изречение е: „Слънцето е изгряло и небето е облачно“ (изразено с конюнктора: „Слънцето е изгряло $\wedge$ небето е облачно“) с подизречения „Слънцето е изгряло“ и „небето е облачно“. Логическата конюнкция не бива да се схваща обаче като ,превод‘ на думата „и“ от естествения – в случая: българския – език на езика на логиката. Думата „и“ съдържа и редица нюанси в смисъла си, които логическият оператор $\wedge$ не предава. Напр. понякога с „и“ се описва и последователност във времото. Има разлика между двете изречения „Тя го напусна и той спря да мисли за нея“ и „Той спря да мисли за нея и тя го напусна“. В други случаи, напр. в аритметичното твърдение „$n$ е четно и по-голямо от 5“, във формален запис:

$\mathrm{\exists }x(x\in \mathbb{Z}\wedge n=2.x)\wedge n>5$

($n$ е равно на удвояването на едно цяло число $\wedge$ $n$ е по-голямо от 5)

такава времева последователност не е интендирана. Това твърдение има същия смисъл като „$n$ е по-голямо от 5 и четно“ в символен запис:

$n>5\wedge \mathrm{\exists }x(x\in \mathbb{Z}\wedge n=2.x)$.

Смисълът на логическия оператор $\wedge$ обхваща само истинностно-функионалното ядро на думата „и“, което е дефинирано с горната таблица за истинност.

Тъй като на конюнкцията е присъщо свойството комутативност (разместително свойство):

$p\wedge q\iff q\wedge p$

както и свойството асоциативност (съдружително свойство):

$(p\wedge q)\wedge r\iff p\wedge (q\wedge r)$

(където знакът $\iff$ изразява логическа еквивалентност),

„конюнкция“ се наричат понякога и комплексни конюнктивни изречения с повече от два конюнкта:

$p\wedge q\wedge r$

и по-общо:

$p_1\wedge p_2\wedge p_3\wedge \mathrm{...}\wedge p_n$

като въпреки това не бива да се забравя, че конюнкцията е (дефинирана като) бинарна, т.е. двуместна логическа операция.

Теория на множествата

В математиката за „конюнкция“ говори понякога и при дефинирането на операцията сечение на две множества. Сечението е резултантното множество, състоящо се от елементите, принадлежащи едновременно и на двете изходни множества.

Сечението на множества се отбелязва със символа ∩, така че новото множество, възникнало от сечението на множествата A и B, се записва като „A ∩ B“.

Формално:

x е елемент на A ∩ B ако и само ако

x е елемент от A

и (т.е. конюнкция)

x е елемент от B.

A∩B ≝ {x|(x∈A)∧(x∈B)}

Например:

• {1, 2, 3} ∩ {2, 3, 4} = {2, 3}
• {1, 2} ∩ {3, 4} = Ø

Конюнкцията, както беше споменато по-горе, притежава свойствата комутативност и асоциативност, така че това се пренася и върху записа на сечението на две множества:

• A ∩ B = B ∩ A;
• (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);

Например: A ∩ B ∩ C ∩ D = A ∩ (B ∩ (C ∩ D))

Основната идея за конюнкцията в теорията на множествата е пресичане на случаен (произволен) не-празен сбор от множества.

Една малко по-девиантна употреба на думата „конюнкция“ е следната. Ако M е едно непразно множество от множества, тогава x е елемент на конюнкция на M ако и само ако за всеки елемент A от M, x е елемент на A.

В символи:

$(x\in \bigcap 𝐌)\leftrightarrow (\mathrm{\forall }A\in 𝐌.x\in A).$

Идеята, която включва горното, е, че напр. фактът, че A ∩ B ∩ C е конюнкция на множеството от множества {A,B,C}, означава, че х е елемент на A ∩ B ∩ C точно тогава, когато х е елемент на А $\wedge$ х е елемент на В $\wedge$ х е елемент на С.

Нотацията на последната концепция може да варира значително.

Теоретиците на множества ще пишат понякога „∩M“, докато други ще пишат вместо това „∩_A$\in$M A“.

Втората може да се генерализира като „∩_i$\in$I A_i“, което се отнася до конюнкцията на сбора {A_i : i $\in$ I}.

Тук I е не-празно множество, и A_i е множество за всеки i в I.

Вижте също

• Дизюнкция
• Импликация