Задача на Пилц

Задачата на Пилц е задача от аналитичната теория на числата за определяне на осреднените стойности на обобщените тау-функции.

Известно е, че за всяко естествено m > 1 съществуват константа ${\theta }_m$ и полином $P_m$ от степен не по-висока от m - 1 такива, че

$\sum _{n\le s}{\tau }_m(n)=s{P}_m(\ln s)+O\left(x^{{\theta }_m+\epsilon }\right)$

за всяко ε > 0, където $\{{\tau }_m{\}}_{m=2,3,...}$ са обобщените тау-функции. За $m=2$ задачата е известна под наименованието задача на Дирихле. Точните стойности на константите ${\theta }_m$ не са известни. Предполага се, че

${\theta }_m=\frac{m-1}{2m}.$

Литература

1. Ivić, A., On the integral of the error term in the Dirichlet divisor problem, arxiv.org (pdf)
2. Piltz, A., Über das Gesetz, nach welchem die mittlere Darstellbarkeit der natürlichen Zahlen als Produkte einer gegebenen Anzahl Faktoren mit der Grösse der Zahlen wächst, Berlin, 1881

Външни препратки

• Dirichlet Divisor Problem, MathWorld Wolfram