Ермитов полином

Под n-ти ермитов полином ($n=0,1,2,\mathrm{...}$) се разбира

$H_n(x)=(-1{)}^n{e}^{x^2}\frac{{\mathrm{d}}^n{e}^{-x^2}}{\mathrm{d}{x}^n}.$

Свойства

• Ермитовите полиноми са решение на рекурсията:

$H_0(x)=1,$

$H_1(x)=2x,$

$H_n(x)=2x{H}_{n-1}(x)-2n{H}_{n-2}(x),n>1.$

• Те са решение и на диференциалните уравнения:

$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+2ny=2x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},n\ge 0.$