Диференциал (математика)

Диференциал е понятие в математическия анализ, въведено от Лайбниц и Бернули като описание на така наречените „безкрайно малки величини“ и „безкрайно малки промени“. Лайбниц и Бернули въвеждат означението $\mathrm{d}x$ за диференциал на променливата $x$. Понятието диференциал, което на времето се е считало за едно от основните понятия на диференциалното и интегралното смятане, днес играе второстепенна роля в анализа. В известен смисъл, особено що се отнася до диференциалното смятане на функциите на една променлива, може да се каже, че неговото въвеждане изобщо не е необходимо. Понятието производна се оказва напълно достатъчно, за да бъдат формулирани всички по-съществени резултати от тази част на анализа.

Нека $f(x)$ е функция, дефинирана в някоя околност на дадена точка $x$. Изменението на стойността на дадена величина може да се означи с $\mathrm{\Delta }x$.

• Производната по дефиниция е границата на диференчното частно, когато $\mathrm{\Delta }x\to 0$. Това позволява производната, която е равна по дефиниция на:

$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

Диференциалът се дефинира като:

$\mathrm{d}f(x)=a*f^{\prime }(x)$ където  $a$ е параметър

В случая $f(x)=x$ получаваме:

$dx=a$ и от тук:

$df(x)=f^{\prime }(x)*dx$ което може да се запише и като частно:

$f^{\prime }(x)=\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}$

Това понятие се обобщава за функции с n реални променливи по следния начин:

$\mathrm{d}f(x)=\sum _i^n\frac{\partial f(x)}{\partial x_i}\mathrm{d}{x}_i$ където обаче символът $\frac{\partial y}{\partial x_i}$ е неделим, т.е. не може да се интерпретира като частно макар по формата си да напомня на такова.

• Това обозначение е удобно и при интегралното смятане. С израза:

$\int f(x)\mathrm{d}x$

се дава вярна представа за интеграла като сума от безкрайно малки изменения на функцията.

Интерпретация

Ако гледаме на диференциала като на функция на променливата $h$, то той може да се интерпретира като приближение на нарастването на $f$ около точката $x$ със свойството:

$\mathrm{d}f(x)=f^{\prime }(x)\cdot h=(f(x+h)-f(x))+\text{o}(h).$

Литература

• Математический анализ: Введение в анализ, производная, интеграл. Справочное пособие по высшей математике. Т.1, И. И. Ляшко, А. К. Боярчук, Я. Г. Гай, Г. П. Головач, Едиториал УРСС, 2001